Como explicar que esse limite existe?

Question

Estou tentando mostrar o $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^2-y^2}$existe ou não existe e se existe o que é. Eu escolhi um caminho$y = x - kx^4$ e sou capaz de mostrar que isso vai para $\frac{1}{2k}$. Acredito ser apropriado dizer que este limite existe usando este caminho, mas é verdade dizer que o$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ é igual a $\frac{1}{2k}$? O problema é que não sou exatamente como explicar por que e o que exatamente isso significa. Já vi algo assim ser provado, mas realmente não entendo por que isso prova que o limite existe. Qualquer ajuda em entender por que seria apreciada.

Answer 1

Quando você calcula o limite ao longo do caminho $y=x-kx^4$ e chegar à conclusão de que é $\frac{1}{2k}$, você está mostrando que o limite não existe. Se existisse, você obteria o mesmo limite em todos os caminhos possíveis.