Como normalizar uma função de onda?
Para falar sobre este tópico, vamos usar um exemplo concreto:
Suponha que eu tenha um sistema unidimensional sujeito a um potencial linear, como o hamiltoniano do sistema é:$$H=\frac{\hat{p}^2}{2m}-F\hat{x}, \qquad \hat{x}=i\hbar\frac{\partial}{\partial p},$$ então eu posso querer encontrar as funções próprias do hamiltoniano: $$\psi _E(p)=\langle p|E\rangle,$$ Onde $|p\rangle$ são os autovetores do operador momentum e $|E\rangle$são os autovetores do hamiltoniano. Depois de trabalhar um pouco com o TISE , cheguei à seguinte expressão para$\psi _E(p)$: $$\psi _E(p)=N\exp\left[-\frac{i}{\hbar F}\left(\frac{p^3}{6m}-Ep\right)\right].$$Estou quase lá! A única coisa que falta é a constante de normalização$N$. Como devo seguir em frente? Eu poderia tentar aplicar a condição de normalização diretamente, impondo a integral dessa função igual a 1, mas isso parece muito trabalhoso. No entanto, minhas notas de aula sugerem que eu tente aproveitar o fato de que os autovetores do hamiltoniano devem ser normalizados:$$\langle E'|E\rangle=\delta(E-E')$$ Onde $\delta$é a função delta de Dirac. 1
No entanto, não consigo ver como usar essas informações para derivar a constante de normalização$N$. Minhas notas de aula estão corretas? Como devo usar a condição de normalização dos autovetores do hamiltoniano então? É mais rápido simplesmente tentar impor a integral igual a 1?
[1]: Com base no meu entendimento atual, esta é uma generalização (não tão rigorosa) da condição de normalização dos autovetores de um observável no caso discreto: $$\langle E'|E\rangle=\delta _k \ \Rightarrow \ \langle E'|E\rangle=\delta(E-E')$$ Onde $\delta _k$ é o Delta de Kronecker, igual a um se os vetores próprios forem iguais e zero caso contrário.
Respostas
A "sugestão" proposto deve realmente ser chamado um requisito: você tem de usá-lo como uma condição de normalização. Isso ocorre porque as funções de onda não são normalizáveis: o que tem que ser igual a 1 é a integral de$|\psi|^2$, não de $\psi$, e $|\psi|^2$é uma constante. Assim como uma onda plana regular, a integral sem$N$ é infinito, então nenhum valor de $N$ fará com que seja igual a um.
Uma opção aqui seria simplesmente desistir e não calcular $N$(ou diga que é igual a 1 e esqueça). Isso não está errado! As funções$\psi_E$não são físicos - nenhuma partícula real pode tê-los como um estado. Estados físicos$\psi(p)$ são superposições de nossas funções de onda básicas, construídas como
$$\psi(p) = \int dE\, f(E) \psi_E(p)$$
com $f(E)$alguma função. Esta nova função de onda é física e deve ser normalizada e$f(E)$ lida com esse trabalho - você deve selecioná-lo para que o resultado seja normalizado.
Mas há duas razões pelas quais decidimos impor $\langle E | E' \rangle = \delta(E-E')$. Uma é que é útil ter alguma convenção para nossa base, de modo que os últimos cálculos sejam mais fáceis. Ter uma função delta é inevitável, pois independentemente da normalização o produto interno será zero para energias diferentes e infinito para energias iguais, mas poderíamos colocar alguns (possivelmente$E$coeficiente -dependente) na frente dele - isso é apenas uma convenção.
A outra razão é que se você se aprofundar um pouco mais na normalização do $\psi(p)$acima, a função delta aparece de qualquer maneira. Nós temos
$$\langle \psi | \psi \rangle = \int dp\, \int dE\, \int dE'\, f(E)^* f(E') \psi_E^*(p) \psi_{E'}(p),$$
e você pode ver que o produto interno $\langle E | E' \rangle$ está bem ali, no $E$integrante. Portanto, temos que usar o fato de que é proporcional a$\delta(E-E')$, e é mais simples fixar a constante de proporcionalidade de antemão.
Então, para recapitular: tendo $\langle E | E' \rangle \propto \delta(E-E')$ apenas cai fora da definição do $\psi_E(p)$, e é também obviamente a manifestação do fato de que estados estacionários com energias diferentes são ortogonais. Somos apenas livres para escolher o que vai na frente da função delta, o que é equivalente a dar um valor (possivelmente dependente de energia) para$N$. Usando$\delta(E-E')$ por si só é apenas a escolha mais simples, mas às vezes outros fatores são usados.
Agora, realmente calculando $N$ dada esta convenção é muito fácil: não vou lhe dar a resposta, mas observe que quando você calcula o produto interno de duas funções de onda com energias diferentes (ou seja, a integral de $\psi_E^* \psi_{E'}$), as partes com $p^3$no cancelamento exponencial, porque não dependem da energia. O que resta é uma exponencial complexa regular, e usando a identidade
$$\int_{-\infty}^\infty dx\, e^{ikx} = 2\pi \delta(k)$$
(o que é rigoroso o suficiente para nossos propósitos), você mostra que a coisa toda deve ser proporcional a $\delta(E'-E)$, e derivam o valor de $N$ de lá.
Há um pouco de confusão aqui. O estado quântico de um sistema$|\psi\rangle$ deve sempre ser normalizado: $\langle\psi|\psi\rangle=1$. Uma vez que a função de onda de um sistema está diretamente relacionada à função de onda:$\psi(p)=\langle p|\psi\rangle$, também deve ser normalizado. Caso contrário, os cálculos dos observáveis não darão certo.
Agora pode acontecer que os autoestados do hamiltoniano $|E\rangle$ formariam um espectro contínuo, de modo que obedecessem à condição de ortogonalidade $\langle E|E'\rangle=\delta(E-E')$. Isso significa que esses estados próprios não são normalizáveis. Portanto, eles não podem servir individualmente como funções de onda. Em vez disso, uma função de onda seria composta de uma superposição de tais autoestados.$$ |\psi\rangle=\int |E\rangle F(E) dE . $$ Onde $F(E)$é a função de coeficiente. A condição de normalização significa que$$ \langle\psi|\psi\rangle=\int |F(E)|^2 dE = 1 . $$
Espero que isto ajude.