Como posso provar que qualquer função $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínuo?

Question

Tenho que encontrar todas as funções do tipo:

$$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$

que são contínuos. Minha afirmação é que todas essas funções são contínuas. Se pensarmos sobre isso,$f$teria apenas pontos isolados e sabemos que uma função é sempre considerada contínua em um ponto isolado. Então, por esse raciocínio, qualquer função$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$é contínuo. Espero que meu raciocínio esteja correto. O que estou confuso é como eu poderia provar isso formalmente. Sabemos que a continuidade é definida assim:

Uma função $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ é contínuo em um ponto $c \in A$ E se

$$\forall V \in \mathcal{V}(f(c)), \exists U \in \mathcal{V}(c) \text{ such that } \forall x \in U \cap A \text{ we have } f(x) \in V$$

Como eu poderia provar meu ponto usando a definição de continuidade? Na verdade, não é tão difícil encontrar a resposta intuitivamente, mas não vejo como poderia tornar meu argumento mais formal.

Answer 1

Para cada $c\in\Bbb N$, levar $\mathcal V(c)=\{c\}$. Você pode fazer isso, pois é um bairro de$c$.