Como provar que a média geométrica é côncava? [fechadas]

Question

Como provar que a média geométrica é côncava?

A média geométrica é $𝑓(𝑥)=(\prod_{i=1}^nx_i)^{1/𝑛}$ é côncavo em dom 𝑓 = ℝ𝑛 ++.

Answer 1

Vamos usar a desigualdade AM-GM: $$\frac{a_1 + a_2+\cdots +a_n}{n} \ge (a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}.$$

Aplicando AM-GM para $a_i = \frac{x_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i}$, então para $a_i = \frac{y_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i}$, Nós temos:

\begin{align} \frac{f(x)}{f(\lambda x + (1 - \lambda)y)} = \left(\prod_{i=1}^n \frac{x_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i} \right)^{1/n} &\le \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i} \right),\\ \frac{f(y)}{f(\lambda x + (1 - \lambda)y)} =\left(\prod_{i=1}^n \frac{y_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i} \right)^{1/n} &\le \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n \frac{y_i}{\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i} \right). \end{align} Multiplique a primeira desigualdade por $\lambda$, e o segundo por $(1 - \lambda)$, então some os dois que obtemos \ begin {equation} \ frac {\ lambda f (x) + (1 - \ lambda) f (y)} {f (\ lambda x + (1 - \ lambda) y)} \ le 1. \ end {equation} Terminamos.

Answer 2

Talvez exagero, mas você poderia usar a desigualdade de Mahler para mostrar isso. De fato,

$$ f(\lambda x + (1 - \lambda) y) = \prod_{i=1}^n (\lambda x_i + (1 - \lambda)y_i)^{1/n} \geq \prod_{i=1}^n \lambda^{1/n} x_i^{1/n} + \prod_{i=1}^n (1 - \lambda)^{1/n} y_i^{1/n} \\ = (\lambda^{1/n})^{n} \prod_{i=1}^n x_i^{1/n} + \left((1 - \lambda)^{1/n}\right)^n \prod_{i=1}^n y_i^{1/n} = \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y). $$