Como provar que uma sequência é limitada

Question

Para uma sequência $\{x_n\}_{n\ge 1}$, deixe uma sequência $\{y_n\}_{n\ge 1}$ ser definido pela fórmula $$y_n = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n \ \forall n\in \Bbb{N}$$

Prove que se a sequência $\{x_n\}_{n\ge 1}$ é limitado, então é $\{y_n\}_{n\ge 1}$. (Lembre-se de que uma sequência$\{x_n\}_{n\ge 1}$ é limitado se houver um número real positivo $M$ de tal modo que $|x_n| < M$ $\forall n\in \Bbb{N}$ )

Answer 1

Porque $\forall i \in \mathbb{N}, \ |x_i| < M$, então $$\left|\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n\right| \leqslant\frac{|x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|}{n} \leqslant\frac{M+M+\cdots+M}{n}=\frac{Mn}{n}=M$$

Answer 2

Para cada $n, x_n \in (-M,M)$, então a média do primeiro $n$ elementos de {$x_n$} também estará em $(-M,M)$