Como você “regulariza” integrais infinitas?
Esta questão foi inspirada no post: " Existe uma razão sólida pela qual algumas pessoas assumem que o teorema fundamental do cálculo ainda deve valer para integrais divergentes com limites impróprios? " (E a discussão subsequente). Para encurtar a história, o OP estava usando alguma técnica para "regularizar" integrais infinitas (e afirma, por exemplo, que$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x}$ tem um "valor regularizado" de $-\log 2$) - e depois reclamando que qualquer regularização que eles estavam usando não funcionava bem com as regras de mudança de variável em uma integral.
Então ... Qual é a "regularização" de uma integral infinita? Existem várias maneiras de fazer isso ou todas elas se resumem na mesma coisa sempre que "funcionam"? Existe uma maneira preferida de fazer isso? Que generalizações desta noção foram usadas / estudadas / são práticas? É um tópico de pesquisa ativa? Quais são os problemas não resolvidos conhecidos relacionados a ele?
(Claro, não espero que todas essas perguntas sejam respondidas aqui, estou mais atrás de algum tipo de referência que seria possivelmente compreensível com conhecimentos básicos de análise real e complexa e integração de Lebesgue, ou talvez um pouco mais do que isso. Idealmente um artigo do tipo "Tudo o que você sempre quis saber sobre regularização, mas teve medo de perguntar ...")
Respostas
Bem.
Primeiro, você pode regularizar algumas integrais com as mesmas técnicas de regularização de séries divergentes. Por exemplo, você pode regularizar algumas integrais usando a soma de Cesaro . Basicamente, significa encontrar a média da integral à medida que o limite de integração vai para o infinito.
Usando essas e outras técnicas relacionadas, pode-se descobrir que
$$\int_0^\infty \sin x\, dx=1$$
e até mesmo
$$\int_0^\infty \tan x\,dx=\ln 2$$(veja aqui )
Mas essas integrais vão a algum limite, pelo menos no sentido de valor médio. Existem outras integrais que vão até o infinito e também permitem a regularização.
Por exemplo, sabemos que a série harmônica é regularizada para a constante de Euler-Mascheroni (por regularização Zeta ou Ramanujan):
$$\operatorname{reg}\sum_{k=1}^\infty \frac1k=\gamma$$
Ao mesmo tempo, a diferença entre a soma parcial e integral vai para $\gamma$ também (a área azul):
$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac1{k}-\int_1^n\frac1t dt\right)$$
Isso nos permite concluir que $$\operatorname{reg}\int_1^\infty\frac1t dt=\operatorname{reg}\sum_{k=1}^\infty \frac1{k}-\gamma=0$$ já que a regularização é sempre um operador linear.
Em geral, pode-se reduzir a regularização de uma integral à regularização da série correspondente:
$$\operatorname{reg}\int_0^\infty f(x)\,dx=\lim_{s\to0}\left( s \operatorname{reg} \sum_{k=1}^\infty f(sk)\right)$$
Resposta básica: Não existe regularização de uma integral. Ou é convergente ou não faz sentido. Os exemplos da postagem citada são apenas mais um exemplo de manipulações envolvendo o infinito que levam a resultados absurdos (portanto, isso não deve ser feito).
Resposta mais longa: - Em cursos de análise complexa, você tem integrais com parâmetros (complexos) que definem funções holomórficas e podem ser estendidos em um conjunto maior do que o conjunto onde a integral é convergente. Veja, por exemplo, a extensão holomórfica da função Gama, isso está em qualquer livro sobre análise complexa.
As próximas respostas estão bem além do nível de graduação.
-Os físicos costumam usar a noção de renormalização, que consiste em retirar a parte divergente da integral de alguma quantidade física, infelizmente nunca entendi realmente que parte era rigorosa e qual era apenas cozinhar.
-Em certa medida, o trabalho de Martin Hairer (medalhista Fields 2014) também está centrado em questões de renormalização para equações diferenciais parciais estocásticas. Não sei muito sobre isso, mas posso dizer que requer conhecimento de pós-graduação em probabilidades para entender as questões. Artigo de pesquisahttps://arxiv.org/pdf/1803.03044.pdf