Composição do elemento do subgrupo
Por favor, valide a seguinte prova.
Deixei $H$ ser um subgrupo do grupo Abeliano $G$ com elementos $h \in H$ e $g \in G$ mas $g \notin H$.
Teorema
O produto $gh \notin H$.
Prova
Deixei $x = gh$. Presumir$x \in H$, então multiplicando por $h^{-1} \in H$ nós temos isso $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Então, compomos dois elementos de$H$ e obteve um elemento $g \notin H$ e isso viola o encerramento do subgrupo, portanto $gh \notin H$. $\square$
Respostas
Hipótese: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.
Suponha que $gh\in H$ e teremos uma contradição /
Desde a $h\in H$ e $H$ é um subgrupo que temos $h^{-1}\in H$.
Desde a $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ contradição.
Eu usei o fato de que "se $a,b\in H\leq G$ então $ab,ba\in H$"
De fato
E se $H$ é um subgrupo de $G$ e $h \in H$, então para todos $g \in G$ temos $gh \in H \iff g \in H$.
De fato, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Por outro lado,$g \in H \implies gh \in H$. Ambas as reivindicações seguem porque$H$ é um subgrupo e, portanto, é fechado em produtos e inversos.
Sim. Ou você pode dizer que mostrou$g\in H$. De qualquer forma, contradição. Isso completa a prova.