Compreender bem os espaços vetoriais
Eu realmente quero obter um forte domínio da álgebra linear abstrata por 2 motivos, quero me aprofundar na matemática pura por prazer (álgebra abstrata, teoria dos números etc.) e ter uma compreensão mais profunda de como os algoritmos de aprendizado de máquina funcionam nos bastidores.
Tenho lutado para entender bem os espaços vetoriais. Eu li os axiomas, suas provas e outros exemplos / exemplos de exercícios sobre eles em ambos os livros didáticos, bem como aqui na troca de pilha de matemática. Quando vejo as soluções aqui e em alguma troca de pilha matemática sobre por que um determinado objeto é um espaço vetorial ou não, não sigo o raciocínio. Aqui está uma dessas perguntas antigas (este é apenas um exemplo, há muitos outros que não sigo)
Quando olhei para a resposta muito breve aceita que apenas afirma:
Seja 𝑢 = (1,0) e 𝑣 = (0,1). Então 𝑢 + ′ 𝑣 = (1, −1) e 𝑣 + ′ 𝑢 = (2,3).
Eu não entendo como eles surgiram (2,3)?
Olhei para a 2ª solução que tem muito mais detalhes e estou bastante confuso. Parece que as manipulações algébricas são feitas de uma maneira diferente do que eu esperaria saber álgebra do ensino médio?
Por exemplo aqui (desculpe, ainda preciso aprender látex):
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = (𝑥1 + 2𝑦1,3𝑥2 − 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,3 (3𝑥2 − 𝑦2) −𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,9𝑥2− 3𝑦2 − 𝑧2)
alguém poderia me explicar como cada uma dessas equações chegam ao seu detalhe? Não entendo por que você pode adicionar um "+ 2z1" quando era apenas "z1" sozinho. Além disso, na equação a seguir, por que você pode fazer "3 (3𝑥2 − 𝑦2)" parece que está aplicando o multiplicador 3 2 vezes? E o mesmo raciocínio que estou perdendo na equação 𝑥 + (𝑦 + 𝑧), mas acho que seria semelhante.
Obrigado!
Respostas
A adição de vetores normais é definida de modo que, dados dois vetores (bidimensionais) $\vec x = (x_1, x_2)$ e $\vec y = (y_1, y_2)$, a soma deles $\vec x + \vec y = (x_1, x_2) + (y_1, y_2)$ é definido para ser igual a $(x_1 + y_1,\ x_2 + y_2)$. Em outras palavras,$$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2).$$
(Observe que o $+$ assinar no lado esquerdo do $\overset{\rm def}{=}$símbolo é realmente uma nova operação que estamos definindo, uma vez que não definimos anteriormente o que significa adicionar dois vetores juntos. Os dois$+$ sinais à direita, no entanto, simplesmente denotam a adição comum de dois números.)
Agora, a questão pergunta o que aconteceria se definíssemos esse novo operador de adição vetorial de maneira diferente. Para evitar confundir esta definição alternativa com a normal fornecida acima, vamos denotar o operador de adição alternativo por um símbolo diferente. A questão usa$+'$ para este novo operador, mas eu realmente não gosto dessa escolha por razões tipográficas (o apóstrofo parece muito desconectado do sinal de mais), então deixe-me chamá-lo $\oplus$em vez de. Assim, nossa regra alternativa de adição de vetor agora se parece com isto:$$(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + 2y_1,\ 3x_2 - y_2).$$
Agora, a questão é se o conjunto $\mathbb R^2$, equipado com o operador usual de multiplicação vetorial $\cdot$ e este novo operador de adição alternativa $\oplus$, também poderia satisfazer a definição de um espaço vetorial sobre$\mathbb R$.
Acontece que a resposta é "não". E para provar isso, tudo o que precisamos fazer é dar pelo menos um exemplo de vetores para os quais pelo menos um dos axiomas na definição de um espaço vetorial não se sustenta.
Agora, um desses axiomas é que a adição de vetor precisa ser comutativa: se $+$ denota o operador de adição em um espaço vetorial, então $\vec x + \vec y$ precisa ser sempre igual a $\vec y + \vec x$. Claramente, esse axioma se aplica ao operador de adição usual, conforme definido no início desta resposta. Isso também vale para o operador alternativo$\oplus$?
Um momento de reflexão deve revelar que não, uma vez que $x_1 + 2y_1$ geralmente não é igual a $y_1 + 2x_1$. (Na verdade, as duas expressões só são iguais se$x_1 = y_1$.) E, por falar nisso, $3x_2 - y_2$ também não é igual a $3y_2 - x_2$ a menos que $x_2 = y_2$.
Portanto, este operador de adição alternativa $\oplus$ na verdade, falha o requisito de comutatividade tanto quanto é possível falhar: $\vec x \oplus \vec y \ne \vec y \oplus \vec x$ sempre que $\vec x \ne \vec y$.
Mas, como observei anteriormente, não precisamos realmente provar que essa falha de comutatividade ocorre para todos os pares de vetores não iguais$\vec x$ e $\vec y$. Tudo o que precisamos fazer é mostrar um par de vetores para o qual ele não se sustenta. Então, vamos escolher dois vetores distintos - digamos,$\vec x = (0,1)$ e $\vec y = (1,0)$ - e fazer a aritmética:
$$\begin{alignat}{3} \vec x \oplus \vec y &=\;& (0,1) \oplus (1,0) &=\;& (0 + 2 \cdot 1,\ 3 \cdot 1 - 0) &= (2,3) \\ \vec y \oplus \vec x &=\;& (1,0) \oplus (0,1) &=\;& (1 + 2 \cdot 0,\ 3 \cdot 0 - 1) &= (1,-1). \end{alignat}$$
Claro, você poderia muito bem escolher qualquer outro par de vetores distintos. E, claro, não importa se você chama os vetores de exemplo$\vec x$ e $\vec y$ ou $\vec u$ e $\vec v$como queiras. E também não importa se você escreve seus símbolos vetoriais como$\vec x$ ou $\bar x$ ou $\mathbf x$ ou apenas $x$, embora geralmente você deva tentar seguir qualquer convenção que seu livro use.