compreensão da relação de matriz e transformação linear

Question

Eu estava lendo a questão 3.c.3 do livro de Sheldon Axler, que é respondida aqui: 3.c.3, mas não consigo entender como funciona. Alguém pode me dar uma explicação e alguma intuição sobre a relação deles, por favor. prova

Answer 1

Uma maneira de relacionar uma transformação à sua matriz é observar que o $j$a coluna de uma matriz especifica a imagem do $j$o elemento básico do domínio.

No nosso caso, as bases são $\{v_1,\dots,v_n,u_1,\dots,u_m\}$ e $\{w_1,\dots,w_p\}$.

Para $1 \leq j \leq n$, a imagem do $i$o elemento básico é dado por $$ T(v_j) = w_j = 0 \cdot w_1 + \cdots + 0 \cdot w_{j-1} + 1 \cdot w_j + 0 \cdot w_{j+1} + \cdots + 0 \cdot w_n. $$ Correspondentemente, o $j$ª coluna de $\mathcal M(T)$ será $(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$. Então, o$j$ª entrada do $j$a coluna é $1$, e todas as outras entradas da coluna são $0$. Isso nos dá o resultado esperado para o primeiro$n$ colunas.

Para $j>n$, descobrimos que a imagem do $j$o vetor base é dado por $$ T(u_{j-n}) = 0 = 0 \cdot w_1 + \cdots + 0 \cdot w_p, $$ o que significa que o $j$a coluna será $(0,\dots,0)$. Em outras palavras, todas as entradas fora do primeiro$n$ colunas são $0$.