Comprimentos inteiros em um triângulo

Question

Se$a,b,c$são comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde$a$é a hipotenusa, então é possível que$c$,$b$,$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$ser todos inteiros? Eu deduzi isso em outro problema de geometria, mas não sei como fazer isso.

Answer 1

Como$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$são números inteiros, obtemos$a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$ou$a\in\mathbb Z$. Claramente,$b\neq c$e assim,$a\in\mathbb Z$. Como$\triangle ABC$é um triângulo retângulo com lados inteiros, obtemos,$$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$para alguns$m,n\in\mathbb N$. Deixar,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$agora como$a(a-c)$e$a(a-b)$são quadrados perfeitos, devemos ter$2(m^2+n^2)$e$m^2+n^2$como quadrados perfeitos, o que é absurdo. Assim, a hipótese original é falsa.

Answer 2

COMENTÁRIO.-Se$a$é irracional então$a=a_1\sqrt n$então nós temos$\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$o que é impossível para$c$inteiro positivo (válido apenas para$c=0$assim$c$não pode ser um lado de um triângulo). Conseqüentemente você deve ter$(a,b,c)$é um triângulo pitagórico.

Tente agora o problema com$a,b$e$c$inteiros.