Comprovando relação entre norma e valor absoluto

Question

Mostre que se $\lVert \cdot \rVert$ é uma norma no campo escalar $\mathbb{F}$, então existe um número positivo $\lambda > 0$ de tal modo que $\lVert x \rVert = \lambda |x|$ para todos $x \in \mathbb{F}$

Nós sabemos que ambos $0 \leq \lVert x \rVert < \infty$ e $ 0 \leq |x| < \infty$. Então, intuitivamente, deve haver um mapeamento escalar positivo$\lVert x \rVert$ para $|x|$. No entanto, não sei como provar isso com rigor, em particular provar que existe um$\lambda > 0$ de modo que a desigualdade vale para todos $x$.

Answer 1

Seja a definição de uma norma $\|x\|=\|(x)(1)\|=|x|\|1\|$. Portanto, a identidade se mantém com$\lambda =\|1\|$.