Computação da função geradora do momento da junta

Question

Bom dia, Stack Exchange. Meu problema é que tenho uma distribuição conjunta de variáveis ​​aleatórias discretas com o seguinte PMF e suporte:

$f(x,y) = \frac{2^{x-y} e^{-3}}{x!(y-x)!}$ quando $x = 0, 1, 2, ... y$ e $y = 0, 1, 2, ... \infty $ e $f(x,y) = 0$ de outra forma

Então, meu problema aqui é que eu sei que para conseguir o MGF, $M(t_1, t_2)$, devemos avaliar a soma:

$$\sum_{y=0}^{\infty} \sum_{x=0}^{y} \frac{e^{x_1t_1 + yt_2} * e^{-3} * 2^{y-x}}{x!{y-x!}}$$

Minha estratégia para avaliar a soma interna foi mover todos os termos que contêm um $y$ para a soma mais externa e para mover a constante $e^{-3}$ fora da soma inteiramente, portanto, resolva a soma interna como $$\sum_{x=0}^{y} \frac{e^{xt_1} * 2^{-x}}{x!{y-x!}}$$

A dica do livro me diz que essa soma é fácil de avaliar se o termo $2^{-x}$não estavam lá, mas não tenho certeza de como lidar com a soma uma vez que este prazo esteja presente. Estou no caminho certo aqui, e como faço para resolver esta soma mais interna e ajudar a simplificar a soma em geral seria muito apreciado. Obrigado pela leitura.

Answer 1

Você tem PMF: $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{2^{x-y} e^{-\frac{3}{2}}}{x!(y-x)!},& x = 0, 1, 2, \ldots y\text{ and } y = 0, 1, 2,\ldots\\ 0& \text{otherwise} \end{cases} $$

E o MGF é: \begin{align} M_{X,Y}(t_1,t_2) &= E(e^{t_1x+t_2y})\\ &= \sum\limits_{y=0}^\infty\sum\limits_{x=0}^y e^{t_1x+t_2y}\frac{2^{x-y} e^{-\frac{3}{2}}}{x!(y-x)!}\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty 2^{-y}e^{t_2y}\sum\limits_{x=0}^y e^{t_1x}\frac{2^{x} }{x!(y-x)!}\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty 2^{-y}e^{t_2y}\sum\limits_{x=0}^y \frac{\left(2e^{t_1}\right)^{x} }{x!(y-x)!}\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}\sum\limits_{x=0}^y \frac{y! \left(2e^{t_1}\right)^{x} }{x!(y-x)!}\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}\sum\limits_{x=0}^y \begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}\left(2e^{t_1}\right)^{x} \\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}\sum\limits_{x=0}^y \begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}\left(2e^{t_1}\right)^{x} 1^{y-x}\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}(2e^{t_1}+1)^y\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}\left(2^{-1}e^{t_2}(2e^{t_1}+1)\right)^y\\ &= e^{-\frac{3}{2}}\sum\limits_{y=0}^\infty \dfrac{1}{y!}\left(e^{t_1+t_2}+\dfrac{1}{2}e^{t_2}\right)^y\\ &= e^{-\frac{3}{2}} e^{e^{t_1+t_2}+\frac{1}{2}e^{t_2}}\\ &= e^{e^{t_1+t_2}+\frac{1}{2}e^{t_2}-\frac{3}{2}}. \end{align}

Nota

Eu uso o fato:

(1) Teorema binomial $$\sum\limits_{x=0}^n \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}a^x b^{n-x} = (a+b)^n$$

(2) A série Taylor sobre $x=0$ do $e^x$, $$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}=e^x.$$