Computando grupos de homologia de complementos de $S^2$

Question

Eu tenho que calcular os grupos de homologia de $X=\mathbb{R}^3-S^2$ e $Y=\mathbb{R}^4-S^2$.
No primeiro caso pensei que, desde$X$não está conectado, seus grupos de homologia são a soma dos dois componentes conectados que são a parte interna e a parte externa da esfera. Como o primeiro é contraível, reduzi para computar os grupos de homologia de$\mathbb{R}^3-B^3$, que eu acho que é homotópico equivalente a $S^2$, mas não tenho certeza disso.
Para$Y$Não consigo ver o que fazer, mesmo encontrando conjuntos abertos para aplicar Mayer-Vietoris de forma útil.
Alguém poderia dar uma dica? Obrigado!

Answer 1

Dica:

$\mathbb{R}^3 - B^3$ é de fato homotopia equivalente a $S^2$. Para mostrar isso, você quer encontrar um mapa$\mathbb{R}^3 - B^3 \rightarrow S^2$. Lembre-se disso$S^2$ é o espaço de pontos de $\mathbb{R}^3$que estão a uma unidade de distância da origem. Você pode pensar em um mapa que leva um ponto de$\mathbb{R^3}$ e o envia para algum tipo de ponto "correspondente" na esfera unitária?

Para o segundo, você está certo em usar Mayer Vietoris. Minha dica seria compará-lo com o espaço$\mathbb{R}^3 - S^1$. Talvez use isso como um exemplo de brinquedo - já que aqui sua intuição pode guiá-lo porque você pode visualizar, você pode ser capaz de escolher seus conjuntos abertos mais facilmente - e concluir o exercício, e então ver como isso pode se aplicar ao seu espaço.

Answer 2

Vamos calcular, $\Bbb R^N-\Bbb S^n$. Observe que$N=n+1$ implica $\Bbb R^N-\Bbb S^n=\Bbb R^N-\Bbb S^{N-1}$ que tem dois componentes, um dos quais é um $N$-bola e, portanto, contraível, enquanto a segunda é homotopicamente equivalente a $\Bbb S^{N-1}$.

A seguir, se $N>n+1$, então, $\Bbb R^N-\Bbb S^n$ é homotopicamente equivalente a $\Bbb S^{N-1}\lor\Bbb S^{N-n-1}$.

Agora, $\widetilde H_k(\Bbb S^i\lor \Bbb S^j)=\widetilde H_k(\Bbb S^i)\oplus \widetilde H_k(\Bbb S^j)$. E,$$H_k(\Bbb S^i)=\begin{cases}\Bbb Z&\text{ if }k=0,i\\0&\text{ otherwise.} \end{cases}$$