Comutação entre a integração e a obtenção do autovalor mínimo

Question

Deixar $S = (f_{ij})_{ij}$ seja um $n \times n$ matriz simétrica real, com funções $f_{ij} \in L^1(\mathbb{R}^d,\mathbb{R})$iniciar. Nós definimos$\left(\int u S \right)_{ij} = \int u S_{ij}$como a matriz elementar de integrais. Qual é a condição necessária e equivalente para \ começar {alinhar *} \ min \ sigma \ left (\ int u S \ right) \ leq 0 \ text {para qualquer$u \in L^{\infty}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R})$} \ end {align *} em termos de$S$ apenas (sem falar sobre $u$'s)? Na verdade, isso implica\begin{align*} \min \sigma(S(x)) \leq 0 \leq \max \sigma(S(x)) \text{ a.e on } \mathbb{R}^d \end{align*} tomando sequências $u_n$ convergindo para $\delta_x$, mas o inverso não é verdade graças ao contra-exemplo de Frederico. Esta é uma questão levantada em um problema de mecânica quântica.

Answer 1

[Esta é uma resposta à primeira versão da pergunta, que perguntou se $\min \sigma(S(x)) \leq 0 \leq \max \sigma(S(x)) \text{ a.e on } \mathbb{R}^d$ implica $\min \sigma \left( \int u S \right)\leq 0 \text{ for any $u \ in L ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ d, \ mathbb {R})$}$]

Acho que a resposta é não. Um contra-exemplo é mais simples de construir se você primeiro supor que o domínio é$[0,1]$ ao invés de $\mathbb{R}^d$; então você pode pegar$S(x) \in \mathbb{R}^{n\times n}$ diagonal, com $$ S(x)_{ii} = \begin{cases} -1 & x\in [\frac{i-1}n, \frac{i}n),\\ 1 & \text{otherwise}. \end{cases} $$ Então, integrando com peso $u(x) \equiv 1$ dá $\int_{[0,1]} S(x)_{ii} = \frac{n-2}n \geq 0$, mas cada $S(x)$ tem um autovalor $-1$.

Agora pode-se fazer uma mudança de variável para transformar o domínio em $\mathbb{R}$, introduzindo um peso $u(x)$no processo. Da mesma forma, pode-se estender a função para$[0,1]^d$ tornando-o constante no último $d-1$ dimensões e, em seguida, transformar o domínio em $\mathbb{R}^d$ com uma mudança de variável.