Conceito e decomposição de anéis semi-simples

Question

Comecei a estudar a ideia de semi-simples e queria verificar por que essa composição faz sentido, mas antes disso

Def: Um anel com$1_R$ é considerado semi-simples se a esquerda livre $R$-módulo subjacente $R$ é uma soma (direta) de simples $R$- módulos.

A decomposição de um anel semi-simples é dada como segue

$$A=\bigoplus_{i=1}^n\bigoplus_{j=1}^{k_i} L_{i,j}$$ onde cada $L_i$ é um ideal de esquerda simples e $A$ é qualquer anel.

Minhas incertezas:

Para começar, eu queria ter certeza de que meu entendimento sobre um anel semi-simples está correto. Eu estaria correto em pensar que um anel semi-simples$A$ é basicamente um módulo semi-simples onde o anel $A$ é visto como um $A$-módulo? Então, adotando as ideias dos módulos, isso significa basicamente qualquer anel semi-simples$A$ pode ser decomposto em simples $A$-submódulos, que neste contexto são apenas simples ideais de esquerda e então a composição faz sentido?

Uma pergunta:

Por que a definição que vi online enfatiza a esquerda $R$-módulo sendo gratuito? Será que a existência do elemento de identidade garante automaticamente que o módulo seja livre porque podemos multiplicar tudo por$1_R$ para ter tudo de volta?

Meu entendimento está correto? Por favor, deixe-me saber e muito obrigado antecipadamente!

Answer 1

Eu estaria correto em pensar que um anel semi-simples 𝐴 é basicamente um módulo semi-simples onde o anel 𝐴 é visto como um módulo 𝐴?

Para dizer aquilo $_AA$ é um módulo semi-simples, ou que $A_A$ é um módulo simples, é equivalente a dizer que $R$ é um anel semi-simples (Artiniano), sim.

Por que a definição que vi online enfatiza o fato de o módulo 𝑅 esquerdo ser gratuito?

Possivelmente, é apenas uma redundância para garantir que o leitor saiba que eles estão falando sobre o módulo regular $_RR$. A liberdade é irrelevante para a definição.

Será que a existência do elemento de identidade garante automaticamente que o módulo seja livre porque podemos multiplicar tudo por $1_𝑅$ para ter tudo de volta?

É extremamente incomum (e improdutivo, no início) considerar a teoria dos anéis semi-simples e módulos sem identidade. Meu palpite é que seu livro quer que você assuma a identidade.