Conexão no pacote de pullback.

Question

Deixei $E\to N$ ser um pacote vetorial e $f:M\to N$seja um mapa uniforme. O recuo$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ é então definido por $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ com $x\in M$ e $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Primeira pergunta : como posso reescrever este retrocesso como um mapa$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Meu problema é que$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ é bem definido, desde que $f$é um difeomorfismo. Contudo,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ está bem definido.

Então, eu sei que a conexão $f^*\nabla$ em $f^*E\to M$ é determinado exclusivamente por $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Segunda pergunta: em alguns livros, vi a notação$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ mas enquanto $f$ não é um difeomorfismo $df(X)$ não é um campo vetorial em $N$ então não faz sentido escrever $\nabla_{df(X)}$. Como posso resolver esse problema?

Answer 1

Para escrever o pullback globalmente como um mapa de módulos, você precisa dividir a construção em duas partes. Para tornar tudo menos confuso, deixe-me denotar por$f^{\star}(E)$ o pacote de pullback e denotar por $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ campos de vetores ao longo $f$. Assim, os mapas e construções envolvendo$\star$ não tem nada a ver com a derivada, enquanto os mapas envolvendo $*$inclua a derivada. Agora,

1. Dado um formulário $\omega \in \Omega^k(N,E)$, obtemos um elemento $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ dado por $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ Onde $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ são campos vetoriais ao longo $f$ de modo a $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$e a fórmula faz sentido. Globalmente, isso corresponde a um mapa alternativo de$C^{\infty}(M)$-módulos $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Além disso, você tem o mapa $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Então$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Em relação à segunda questão, a fórmula $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ deve ser entendido localmente como $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Faz sentido mesmo quando $f$ não é um difeomorfismo como uma conexão $\nabla_X(s)$ é tensorial no $X$variável. Você também pode compreender a fórmula globalmente, dividindo a construção da conexão de recuo em duas partes:

1. Há um mapa $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ dado por $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. A conexão de recuo $f^{*}(\nabla)$ é a conexão única $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ que satisfaz $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$