Continuação única da transformada de Hilbert

Question

Vamos considerar a transformada de Hilbert usual $H$ definido como $$Hf = P.V. (\frac{1}{x}*f).$$ Um princípio de continuação único bem conhecido afirma que se $Hf = f =0$em algum intervalo $I$, então $f \equiv 0$. Minha pergunta é se o argumento ainda é verdadeiro se substituirmos o intervalo$I$com um ponto $x_0$. Mais especificamente, podemos provar que se a função$f$ e sua transformação de Hilbert $Hf$ tem um ponto zero $x_0$ de ordem infinita, isto é, $f^{(m)}(x_0) = Hf^{(m)}(x_0) = 0$ para qualquer número inteiro não negativo $m$, então $f\equiv 0$? Podemos assumir que$f$ é suave para tornar a declaração mais rigorosa.

Answer 1

Não. Deixe $$u(z) = \exp(-(-iz)^{1/2}-(-iz)^{-1/2})$$ para $z$no semi-plano complexo superior fechado, com o ramo principal do complexo de poder Então$u$é uma função holomórfica limitada no semiplano aberto, contínua até a fronteira e desaparecendo suficientemente rápido no infinito complexo. Assim, a transformação de Hilbert de$$f(x) = \Re u(x) = \Re \exp(-e^{-i \pi/4 \operatorname{sign} x} |2x|^{1/2} - e^{i \pi/4 \operatorname{sign} x} |2x|^{-1/2})$$ É dado por $$Hf(x) = \Im u(x) = \Im \exp(-e^{-i \pi/4 \operatorname{sign} x} |2x|^{1/2} - e^{i \pi/4 \operatorname{sign} x} |2x|^{-1/2}).$$ Um argumento padrão mostra que ambos $f$ e $Hf$ são suaves e têm um zero de ordem infinita em $x = 0$.