Continuidade de Hölder do cálculo funcional

Question

Deixei $0<\beta<1$ e $ f \colon [0,1] \to [0,1]$ estar $\beta$ Hölder contínuo com constante $C$. Deixei$H$ ser um espaço Hilbert e $A,B$ sejam operadores auto-adjuntos em $H$, de tal modo que $\sigma(A+B),\sigma(A) \subset [0,1]$. Então podemos definir$f(A+B)$ e $f(B)$pelo cálculo funcional contínuo. Temos então a estimativa$$ \left \lvert \operatorname{tr} (f(A+B)-f(A)) \right \rvert \le C \lVert B \rVert_\beta^\beta$$ EDIT: A semi-norma $\lVert B \rVert_\beta$ é a seminorma Schatten von Neumann.

Isso vale para operadores de comutação $A,B$e parece valer para matrizes 2x2, se eu calculei corretamente. Há também a hipótese mais forte, que para qualquer norma equivalente unitária$\lVert \cdot \rVert$, temos a estimativa $$ \left \lVert f(A+B) - f(A) \right \rVert \le C \lVert \lvert B \rvert^\beta\rVert$$Estou ciente da questão da continuidade de Hölder para os operadores e sua resposta, mas isso é diferente, pois o contra-exemplo trivial não se sustenta. O caso especial$f(t)=t^\beta$ é declarado como verdadeiro em uma resposta a essa pergunta.

Answer 1

Essas questões foram muito estudadas, em particular por Aleksandrov e Peller. Provavelmente a referência mais relevante é o papel Funções de operadores sob perturbações de classe$S_p$por Aleksandrov e Peller, J. Funct. Anal. 258 (2010). Link Zbmath ou link mathscinet .

Em particular, é provado lá (Teorema 9.14) que para cada $\beta<1$ e $p \leq 1$, existe um $\beta$-Hölder-função contínua $f$ e operadores $A$, $B$ de tal modo que $B \in S_{1}$ de tal modo que $f(A)-f(B)$ não pertence a $S_{1/\beta}$. Em particular,$B \in S_\beta$ e $f(A) -f(B)$ não pertence a $S^1$.

Notavelmente, isso é ótimo (Teorema 9.13): para cada $p>1$, e todo $\beta$-Função contínua Hölder $f$, $f(A+B) - f(A)$ pertence a $S_{p/\beta}$ sempre que $B$ pertence a $S_p$.

No mesmo artigo, condições suficientes sobre $f$ o que implica que $\|f(A+B)-f(A)\|_1 \leq \|B\|_\beta^\beta$ são derivados.