Continuidade de uma função com topologia de produto

Question

Deixei $f:X\to Y$ser uma aplicação de topologias. Considere o conjunto$$\Gamma_f=\{(x,f(x))|x\in X\} \subset X \times Y$$ com a topologia do produto em $X \times Y$.
Provar que$f$ é contínuo $\iff$ $\Psi:X \to \Gamma_f, \Psi(x)=(x,f(x))$ é um homeomorfismo.

Eu tenho uma pergunta sobre a implicação "$\Longleftarrow$":
Se$\Psi$ é um homeomorfismo, em particular $\Psi$é uma aplicação contínua. Agora, assumindo que$X$ e $Y$ são topologias induzidas pelas distâncias $d_1$ e $d_2$, para a continuidade de $\Psi$ eu tenho $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0:$ E se $d_1(x,\bar x)<\delta\implies d_2(\Psi(x),\Psi(\bar x))<\epsilon$ isso implica a continuidade de $f$. O problema é que estou supondo que$X$ e $Y$ são topologias métricas ... Existe uma maneira mais geral de provar isso?

Answer 1

Considere um subconjunto aberto $V\subset Y$. Agora:

$x\in\ f^{-1}(V)\Leftrightarrow f(x)\in V\Leftrightarrow (x,f(x))\in \Gamma_f\cap(X\times V)\Leftrightarrow\Psi(x)\in\Gamma_f\cap(X\times V)$

$\Leftrightarrow x\in\Psi^{-1}\big(\Gamma_f\cap(X\times V)\big)$, então $f^{-1}(V)=\Psi^{-1}\big(\Gamma_f\cap(X\times V)\big)$.

$X\times V$ está aberto na topologia do produto, então $\Gamma_f\cap(X\times Y)$está aberto na topologia induzida. Desde a$\Psi$ é contínuo, $f^{-1}(V)=\Psi^{-1}\big(\Gamma_f\cap(X\times V)\big)\subset X$ está aberto.

Portanto $f$ é contínuo.

Answer 2

Nesse caso, $f$ é contínua como uma composição de funções contínuas:

$$f:X\overset{\Psi}\to\Gamma_f\overset{\text{inc}}\hookrightarrow X\times Y\overset{\text{pr}_2}\to Y$$