Convergência do produto infinito de números complexos

Question

Em meus estudos de análise complexa, encontrei esta questão:

Somos solicitados a encontrar os números complexos $ z $ para o qual o produto infinito contável converge $$\prod_{n=1}^{\infty} (1-z^n)$$ para um número diferente de zero.

Eu sei o que significa para um produto convergir (sua sequência de produtos parciais converge para um número diferente de zero), mas não consigo encontrar nenhum número para o qual isso converge, talvez o teste de razão? Embora quando tento aplicá-lo, parece não funcionar. Eu pensei em dividir para casos quando$|z|>1,|z|<1,|z|=1$mas novamente intratável. Preciso encontrar todos os números complexos para os quais o produto converge e mostrar que realmente é tudo. Obrigado a todos os ajudantes. ****** EDITAR: corrigido para convergir para um valor diferente de zero para que analistas complexos não discordem de mim na terminologia.

Answer 1

Converge como um produto infinito se $|z|<1$. É zero quando$z$é a raiz da unidade, mas analistas complexos afirmariam que também diverge. Certamente é divergente para todos os outros$z$. Para$|z|<1$ os (principais) logaritmos de $1-z^n$ são assintóticos a $-z^n$ então o produto converge.

Para $|z|>1$ os termos não convergem para $1$, enquanto para $|z|=1$ as coisas são muito mais delicadas.

Answer 2

Só para discutir $|z|<1$:

$$\displaystyle Q = \prod_{n=1}^\infty(1-z^n)$$

$$\log Q = \sum_{n=1}^\infty \log (1-z^n)$$

o $n$o termo da série é $a_n=\log(1-z^n)$ e $\lim \sup |a_n|^{1/n} =|z|$, então se $|z|<1$, a série (e, portanto, o produto) converge.