Crossnumber Puzzle

Question

Através:

1. Soma das potências inteiras consecutivas de 21 em
7. Número primo, nem todos cujos dígitos são primos
8. Número que é coprime com 13 para baixo
9. Soma de três primos consecutivos
10. Número atômico de gás nobre
12. 5 mais de 9 Across
14. Denominação de moeda dos EUA
15. Primo permutável
17. Número de Fibonacci
20. Potência de 2 menos 1
21. Últimos dois dígitos de 16 para baixo

Baixa:

1. 2 Abaixo na base 21 Através
2. Ano bissexto
3. Número não divisível por nenhum de seus dígitos
4. Número cujo cubo consiste em três dígitos, cada um ocorrendo duas vezes
5. Número palíndromo
6. 1 Através do mod 7 Através de
10. Todos 1 Fatores de dígitos de 20 (excluindo 1), em ordem crescente
11. 1 maior que 4 para baixo
13. Número que é menor que 8 em
16. CCCXV
18. Soma de dígitos de 8 em
19. Pode ser expresso como a soma de dois quadrados, nenhum igual a 1, de duas maneiras

Outras notas:

• Linhas grossas indicam o início e o fim das entradas.
• Nenhuma resposta tem zeros à esquerda.

Answer 1

Solução:

Os primeiros passos são claros.

16D: 315

21A: 15

17A: 317811

20A: 4095 (por 10D, este número é um múltiplo de 7)

10D: 3579

14A: 25

10A: 36

4D: 62 (por 11D, este número está entre 59 e 68)

11D: 63

15A: 373

5D: 117711

13D: 134 (uma vez que é menor que 8A)

8A: 217 (por 18A, a soma dos dígitos deste número é 10)

9A: 71 (por 12A, este número está entre 65 e 74)

12A: 76

Aqui as coisas se tornam mais complicadas.

Por 1D, um argumento mod 25 nos diz que o dígito inicial de 7A é 2 ou 7.
Suponha que 7A comece com 2:

2D: 1612

1D: 727

6D: 176

Neste ponto, eu forcei bruta os dois dígitos restantes e vi que não havia solução.

Assim, concluímos que

7A começa com 7 e, portanto,

7A: 797

Agora, existem novamente duas possibilidades:

1D: 477 ou 877.
Suponha 1D: 477, então:

2D: 1012

7A: 709 (por 3D, o último dígito não pode ser 1)

O forçamento bruto dos dois dígitos restantes novamente não dá solução.

Assim nós obtemos

1D: 877

2D: 1912

7A: 797

E finalmente

a força bruta dos dois dígitos restantes dá a resposta acima (observe que 6D não pode começar com 0).

O que não consigo verificar:

1A: Soma de potências inteiras consecutivas de 21 em toda a extensão
. Não entendo o que isso significa ...

EDITAR:

Eu vejo, a frase em 1A acima está se referindo ao fato de que $813616 = 15^0 + 15^1 + \dots + 15^5$. Assim, meu procedimento acima poderia ser muito simplificado.