Definição de uma categoria n
Qual é a definição padrão, se houver, de um $n$-categoria em 2020? A literatura que posso acessar é bastante limitada, mas vou tentar o meu melhor para listar o que tenho até agora.
Em [Lei2001], Leinster demonstrou 10 definições diferentes para um $n$-categoria, e não fez comentários sobre se eles são equivalentes ou não. Em [BSP2011], os autores estabeleceram axiomas e afirmaram que todas as (muitas?) Definições de um$(\infty,n)$-categoria até agora satisfazem seus axiomas e, portanto, são equivalentes (até alguma ação). Incluo essas definições aqui para integridade:
- (a) os espaços Θn completos de Segal de Charles Rezk,
- (b) os espaços Segal completos n-vezes,
- (c) André Hirschowitz e Simpson's Segal n categorias,
- (d) as categorias n-relativas de Clark Barwick e Dan Kan,
- (e) categorias enriquecidas em qualquer categoria de modelo interno, cuja teoria de homotopia subjacente é uma teoria de homotopia de (∞, n) -categorias,
- (f) quando n = 1, quase categorias de Boardman e Vogt,
- (g) quando n = 1, os conjuntos simpliciais marcados de Lurie, e
- (h) quando n = 2, os conjuntos simpliciais em escala de Lurie,
No entanto, todos os casos em [Lei2001] não parecem estar cobertos, e há ainda mais aqui . Qual é a diferença crucial entre definir um$n$-categoria e um $(\infty,n)$-categoria?
Pergunta
Resumindo, existem muitas definições para categorias superiores ... então qual devemos usar? Existe uma lista de todas as definições feitas, e uma discussão sobre qual é equivalente a qual em qual sentido? Existem também discussões sobre qual definição satisfaz as três hipóteses
- hipótese de estabilização
- hipótese de emaranhado
- hipótese de cobordismo
postulado em [BD1995]?
Referência
- [Lei2001]: Um levantamento das definições de n-categoria- [Tom Leinster] - [arXiv: matemática - 0107188]
- [BSP2011]: Sobre a unicidade da teoria da homotopia das categorias superiores - [Clark Barwick e Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: Álgebra de dimensão superior e teoria de campo quântico topológica- [John C. Baez e James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
Relacionado
- Traduzindo desenvolvimentos em diferentes fundações
Respostas
Em primeiro lugar, existem diferenças importantes entre as noções de estrito $n$-categoria, fraca $n$-categoria e $(\infty,n)$-categoria. A noção mais fácil é a de um estrito$n$-categoria, e não há dúvida sobre a definição lá : um estrito$0$-categoria é um conjunto, e por indução um estrito $n$-categoria é uma categoria enriquecida na categoria de $(n-1)$-categorias.
É bom que você tenha citado o artigo de Baez e Dolan, que apresentou um modelo inicial para a noção de um fraco $n$-categoria. Entre 1995 e 2001 houve uma grande proliferação de outros modelos. Moralmente, eles devem ser categorias fracamente enriquecidas na categoria de fracos$(n-1)$-categorias, mas há muitas maneiras de definir um enriquecimento fraco, porque há muitas maneiras de acompanhar as células superiores e como elas se combinam. Em 2004 houve uma conferência para tentar reunir todos e descobrir as semelhanças entre os modelos, e quais eram equivalentes a outros. Isso não resultou em um emergir como o modelo "padrão", e não acho que você deva esperar que isso aconteça tão cedo. No entanto, agora sabemos que os modelos para fracos$n$-categorias geralmente se enquadram em dois campos. A Wikipedia diz isso muito bem :
Existem basicamente duas classes de teorias: aquelas em que as células superiores e as composições superiores são realizadas algebricamente (mais notavelmente a teoria de categorias superiores fracas de Michael Batanin) e aquelas em que mais modelos topológicos são usados (por exemplo, uma categoria superior como um conjunto simplicial que satisfaz algumas propriedades de universalidade).
A Wikipedia também diz: "Várias definições foram dadas, e dizer quando elas são equivalentes, e em que sentido, tornou-se um novo objeto de estudo na teoria das categorias." Isso corresponde ao meu entendimento do campo como ele se encontra atualmente. Eu penso na teoria das categorias superiores como estando interessada em questões sobre os muitos modelos de fracos$n$-categorias. Isso é diferente do estudo de$(\infty,n)$-categorias, que se situa mais na teoria da homotopia.
Agora, outros podem vir e dizer "$(\infty,n)$-categorias são a coisa certa "porque MathOverflow tem uma representação maior de teóricos de homotopia do que teóricos de categoria superior. Você pode ter a mesma sensação ao ler o nLab, novamente com base em quem escreve lá. Mas se você for para Sydney, Austrália, onde a teoria das categorias superiores está viva e bem, você não ouvirá as pessoas dizendo $(\infty,n)$-categorias são o modelo "certo" ou que o teorema da unicidade para $(\infty,n)$-categories resolve o problema de 2004 de descobrir quais modelos de fracos $n$-categorias são equivalentes.
Há também muitos trabalhos em andamento relacionados à hipótese de estabilização, hipótese de emaranhamento e hipótese de cobordismo em vários modelos de $n$-categorias. Por exemplo, Batanin recentemente provou a hipótese de estabilização para o modelo de Rezk com base em$\Theta_n$-spaces. Então Batanin e eu demos outra prova que vale para toda uma classe de definições de fraco$n$-categorias, incluindo o modelo de Rezk. Em 1998 , Carlos Simpson provou a hipótese de estabilização para a definição de Tamsamani de n categorias fracas. Gepner e Haugseng provaram a hipótese de estabilização para$(\infty,n)$-categorias e o tipo de enriquecimento fraco que você obteria usando a tese de doutorado de Haugseng (sobre enriquecido $\infty$-categorias). É claro que Lurie escreveu milhares de páginas para provar a hipótese do cobordismo para$(\infty,n)$-categorias, e Ayala e Francis deram uma prova mais curta usando homologia de fatoração.
Tenho certeza de que perdi muita literatura e tenho certeza de que alguns discordarão de mim em dizer "sim, ainda é valioso estudar modelos de fracos $n$-categorias em vez de apenas estudar $(\infty,n)$-categorias. "Mas você pediu referências, então aqui estão algumas para você começar.