Delta de Dirac e uma composição de funções

Question

Estou trabalhando em uma integral que tem um delta de Dirac e normalmente estou bem com eles, mas desta vez tenho o delta de Dirac emparelhado com uma composição de funções.

O integral é,

$$ \int dx \delta(x-x_0)\cos (\phi(x,t)). $$

Posso estar pensando demais nisso e a resposta é apenas $\cos(\phi(x_0,t))$, mas não consigo encontrar nenhuma referência sobre se existe ou não alguma regra especial para esta situação.

Alguém pode me apontar na direção certa?

Answer 1

Suponha que temos o $2$- função delta variável $\delta(x,y)$ e um $2$-função variável $f(x,y)$, então:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dx dy = f(x_0,y_0).$$

Isso dá a mesma resposta se você integrar em relação a $x$ ou $y$primeiro. De fato:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dy dx = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y_0)\delta(x-x_0)dx=f(x_0,y_0)$$

e da mesma forma quando você integra wrt para $x$ primeiro.

Assim, temos:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)f(x,t)dx=f(x_0,t)$$

para todos $x_0 \in \mathbb R.$