Demonstração do teorema de Brianchon

Question

Busco uma prova do teorema de Brianchon , que afirma:

Quando um hexágono é circunscrito em torno de uma seção cônica, suas diagonais principais (aquelas que conectam vértices opostos) se encontram em um único ponto.

Prefiro provas mais simples do que as mais complexas. Obrigada.

(PS: Perguntas semelhantes foram feitas, mas nenhuma recebeu respostas adequadas.)

Answer 1

Elaborei uma prova usando o teorema de Ceva, mas ela requer alguns lemas suplementares obscuros que me fazem duvidar que a prova seja tão simples quanto OP espera. Citando Corte o Nó :

A maneira mais fácil de provar o teorema de Brianchon é por meio da dualidade implícita nas propriedades de pólos e polares.

Mas essa é apenas uma maneira de reduzi-lo ao teorema de Pascal, o que é bom se você não tiver que provar o teorema de Brianchon diretamente.

Uma elegante prova moderna (Coxeter a atribui a Smogorzhevskiĭ) é fornecida no site de Pamfilos .

Minha versão de uma prova Ceva foi guiada pelos exercícios 159-161 da Geometria Moderna de Smith . Mas há várias provas na Geometria Projetiva de Hatton, Capítulo XIV . Eles são apresentados lado a lado com as provas do Teorema de Pascal , incluindo uma prova de Ceva. ( Proof by Carnot's Theorem , pg 191. Nomeado apropriadamente porque um dual do Teorema de Carnot, atribuído a Chasles, é o cerne da prova). Essas provas são totalmente gerais para cônicas, mas as provas para o caso do círculo são apresentadas no Capítulo XII.

Milne ( Cross-Ratio Geometry, pg 158 ) fornece uma boa prova curta, mas, como sempre, requer algum entendimento da geometria projetiva.