Densidade de Borel fixada em 0

Question

O teorema da densidade de Lebesgue diz que se $E$ é um conjunto mensurável de Lebesgue, então a densidade de $E$ em quase todos os elementos de $E$ é 1 e a densidade de $E$ em quase todos os elementos que não estão em $E$ é 0.

No entanto, é verdade que para cada $t$ estritamente entre 0 e 1, existe um conjunto de Borel $E$ que tem densidade $t$ em 0?

Não tenho ideia de como construir esse conjunto para um valor aleatório de $t$. Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Sim. Em dimensão$\geq 2$ isso é trivial, então presumo que estamos olhando para a linha real.

Dado um $n>0$ e $\alpha\in [0,1]$, colocar $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ e $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Colocar $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Então a densidade de$U_{n,\alpha}$ em $0$ é exatamente $\alpha$. Para ver isso, escreva$m_r$ para $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ e observe que:

• E se $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, então $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• E se $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, então $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Dica: vamos $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Deixei $L_n$ seja o comprimento de $I_n.$ Fora de $I_n$ nós escolhemos um subintervalo

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ é um "$t$-mordida "de $I_n.$ Conjunto $E=\cup J_n.$ Se estou pensando direito, teremos

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Considere uma sequência de números $r_n \searrow 0$ de tal modo que $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Deixei$\theta$ ser uma medida preservando o mapa de $(0,r_1]$ para $\mathbb R^2$ isso leva $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ para $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Então deixa$A$ ser um 'pedaço de torta' centrado na origem em $\mathbb R^2$, com ângulo $\alpha$no canto. Então$\theta^{-1}(A)$ será um conjunto com densidade $\alpha/(4\pi)$ em $0$.

Isso dará densidades $0 \le t \le \frac12$. Para obter$\frac12 < t \le 1$, simplesmente adicione $(-\infty,0]$.