Densidade de um espaço de sequência particular

Question

Para $a\in\mathbb R$, deixei $h_a$ ser o espaço de Hilbert de sequências definidas por $$ h_a=\left\{(x_n):\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^a|x_n|^2<\infty\right\}$$ e produto interno $\langle(x_n),(y_n)\rangle_a=\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^ax_n\overline{y_n}$.

Prove que se $b>a$ então $h_b$ é denso em $h_a$.

Tentativa: até agora, mostrei que $b>a$ então $h_b\subset h_a$. No entanto, não tenho uma ideia clara de como mostrar que$h_b$ é denso em $h_a$. Provavelmente, preciso mostrar isso para qualquer elemento em$h_a$ há uma sequência em $h_b$convergindo para ele; além disso, estou preso.

Qualquer ajuda ou orientação sobre esta questão seria muito apreciada. Obrigado!

Answer 1

Deixei $(x_n) \in h_a$. Deixei$y_n=x_n$ para $|n| \leq N$ e $y_n=0$ para $|n| >N$. Então$(y_n) \in h_b$. Agora a norma de$(x_n-y_n)$ dentro $h_a$ é $\sqrt {\sum_{|n|>N} (1+n)^{a}|x_n|^{2}}$. Lembre-se da série$\sum c_n$ de números não negativos é convergente do que $\sum_{|n|>N|} c_n \to 0$ Como $ N \to \infty$. Portanto, dado$\epsilon >0$ nós podemos encontrar $N$ de tal modo que $\|(x_n)-(y_n)\| <\epsilon$.