Derivada complexa - como esse resultado é obtido?

Question

Eu sou muito novo no campo da álgebra complexa. Durante meus estudos, encontrei o seguinte termo:

$$(z - \bar{z}) H(z)$$

Onde $z$ é uma variável complexa, $\bar{z}$ seu conjugado complexo, e $H(z)$ é uma função complexa dependendo de $z$. Os autores pegam a derivada complexa em relação a$z$ e obter:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right) = H(z) + z\frac{\partial H(z)}{\partial z} - \bar{z}\frac{\partial H(z)}{\partial z}$$

Agora minha pergunta: como foi obtido esse resultado?

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Minha própria abordagem seria assim:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right)$$ Puxar $H(z)$ dentro da parêntese $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z) - \bar{z}H(z) \right)$$ E divida os termos $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z)\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\bar{z}H(z) \right)$$ Agora aplique a regra da cadeia $\frac{\partial}{\partial x}a(x)b(x) = a'(x)b(x) + a(x)b'(x)$:

$$\frac{\partial}{\partial z} zH(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \frac{\partial}{\partial z}\bar{z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Agora eu espero $\frac{\partial}{\partial z} z= \frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1$:

$$H(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

que deve simplificar para:

$$z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Esse não é o resultado obtido pelos autores (o termo $H(x)$está desaparecido). Uma possível explicação pode ser que$\frac{\partial}{\partial z} \bar{z}=0$, mas eu ficaria surpreso se $\bar{z}$ é independente de $z$. Você sabe onde está o meu erro? Tenho menos confiança na penúltima etapa.

Answer 1

De fato $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 0$. Lembre-se disso$\frac{\partial}{\partial z}$ é definido como $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}$, então $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1 + i^2 = 0$.

Answer 2

$\overline z$ é tratado como uma variável independente de $z$. Claro, não é realmente independente, uma vez que existe uma correspondência um-para-um claramente definida entre os números complexos e seus conjugados. Mas alguns formalismos da análise complexa fingem que não é assim. É por isso que pessoalmente não gosto desses formalismos.

Mas há uma maneira de tornar isso rigoroso. Podemos notar que se uma função$f(x+\mathrm iy)$ é complexo diferenciável, então $\partial_z f=\partial_x f=-\mathrm i\partial_y f$. A partir disso, podemos concluir que$$\partial_z f=\frac{1}{2}(\partial_x -\mathrm i\partial_y )f.$$Podemos também notar que podemos aplicar o operador diferencial à direita para funções que não são complexas diferenciáveis. Portanto, é uma generalização do operador derivado complexo, e definimos$\partial_z:=\frac{1}{2}(\partial_x-\mathrm i\partial_y)$. Para funções complexáveis ​​diferenciáveis, isso ainda retorna apenas a derivada complexa. Mas também retornará algo para funções não diferenciáveis, por exemplo,$\partial_z\overline z=0$. Usando o antigo significado onde$\partial_z$ é estritamente a derivada complexa, $\partial_z\overline z$ simplesmente não existia, uma vez que $\overline z$não é complexo diferenciável. Então você não seria capaz de usar nenhuma das regras de diferenciação em primeiro lugar.