Derivada de uma função complexa como um $\mathbb{C}$-transformação linear

Question

Estou tentando mostrar que a derivada de uma função complexa diferenciável é um $\mathbb{C}$- mapeamento linear de $\mathbb{C}$ para si mesmo, e uma vez que cada $\mathbb{C}$- o mapa linear é da forma $$ \begin{bmatrix} c_1 & c_2 \\ -c_2 & c_1 \end{bmatrix} $$ então posso deduzir as equações de Cauchy-Riemann.

Em particular, acho que quando $f$ é diferenciável em um bairro de $a$, é o suficiente para mostrar que $Df (a)$ respeita a multiplicação escalar sobre $\mathbb{C}$ mas meus esforços sempre precisam das equações de Cauchy-Riemann para provar o desejado, o que significa que não funciona, pois queremos mostrá-las.

Além disso, quero dizer uma função de valor complexo diferenciável na vizinhança de $a$, se o limite $\lim_{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existe para todos $x$ naquele bairro.

Answer 1

Diferenciabilidade é uma questão pontual, você só precisa nos preocupar com o que está acontecendo em $a$. Suponha$f:U \to \Bbb{C}$ é uma função definida em um subconjunto aberto do plano complexo, $a\in U$, e essa $f'(a):= \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$existe. Espero que você possa se convencer de que isso é equivalente a\begin{align} \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a) - f'(a)\cdot h}{h} = 0. \end{align} Ou, de forma equivalente, podemos colocar valores absolutos em todos os lugares \begin{align} \lim_{h\to 0}\dfrac{\left|f(a+h) - f(a) - f'(a)\cdot h\right|}{|h|} = 0. \end{align}Veja o que temos dentro; a função$h\mapsto f'(a)\cdot h$ é um $\Bbb{C}$- transformação linear $\Bbb{C}\to \Bbb{C}$. Isso significa exatamente isso$Df_a(h)= f'(a)\cdot h$, e daí que $Df_a:\Bbb{C}\to \Bbb{C}$ é $\Bbb{C}$-linear.

Finalmente, uma vez que cada $\Bbb{C}$- a transformação linear tem aquela representação de matriz que você descreve (em relação à base $\{1, i\}$ do $2$espaço vetorial dimensional $\Bbb{C}$ sobre o campo $\Bbb{R}$), você pode deduzir as equações de Cauchy-Riemann.