Derivada de uma função diferenciável

Question

Dada uma função $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ de tal modo que $f$ é diferenciável em $(a,b)$ e contínuo em $0$ e $1$. Deixei$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ seja a linha que passa $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. Eu queria saber como mostrar isso para cada$s \notin [a,b]$, existe $t \in [a,b]$ de modo que a linha tangente de $f(x)$ no ponto $(t,f(t))$ passa por $(s,g(s))$? (Eu estava pensando em usar o Teorema do Valor Médio, mas não consegui provar usando apenas o MVT.)

Answer 1

WLOG, $f(a)=f(b)=0$ porque podemos subtrair de $f$uma função linear sem quebrar a condição de tangência. Agora considere a função auxiliar

$$\frac{f(t)}{t-s}$$ que tem a derivada

$$\frac{f'(t)(t-s)-f(t)}{(t-s)^2}$$ cancelando onde

$$f'(t^*)=\frac{f(t^*)}{t^*-s}$$ e aplicar o teorema de Rolle.