Derivada Funcional com Variável Discreta

Question

Problema

$$\text{Find}\quad\frac{\delta F_k}{\delta G} \quad \text{given} \quad F_k=\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{-1}$$

notar que $k$ e $r$ são discretos enquanto $\omega$ e $t$ são contínuos.

fundo

Estou tentando mostrar isso $F_k[G(r,t)]$ é muito sensível a perturbações em $G(r,t)$. Por meio de trabalho numérico, sei que é (frequentemente) o caso. Em última análise, gostaria de argumentar que construir$F_k$ medindo $G(r,t)$não funcionará bem quando a medição for ruidosa. Achei uma boa maneira de mostrar isso computar a derivada funcional e mostrar que ela fica grande (ou talvez diverge) em alguns lugares. No entanto, estou fazendo algo errado.

Tentativa

Pela definição aqui :

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)+\epsilon\eta(t)\right)^{-1}\right]_{\epsilon=0}$$

Usando a regra da cadeia, $\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}=N\delta_{k,0}$ ou seja, o delta de Kronecker, e a definição $G(k,\omega)\equiv\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)$ transforma o acima em

$$\frac{-\int dt\sum_{r=0}^{N-1} e^{i(kr+\omega t)}\eta(t)}{\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{2}}=\int dt\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}\eta(t)\to \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}$$

Eu sei que isso está errado porque esses números mostram que isso não é $0$ para todos $k\neq 0$. Eu suspeito que o problema tem algo a ver com$\eta$ apenas dependendo de $t$ e não $r$, mas não tenho certeza de como contabilizar uma variável discreta como $r$.

Resolução?

Acho que meu entendimento da definição acima está provavelmente errado e provavelmente precisa de uma função de teste que depende de ambos $r$ e $t$? Eu ficaria muito animado se a maneira certa de fazer fosse algo como

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\sum_{r=0}^{N-1}\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(r,t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}F_k\left[G(r,t)+\epsilon\eta(r,t)\right]\right]_{\epsilon=0}$$

mas minha matemática é muito fraca para afirmar que este é o caminho certo, embora pareça que faz algum sentido (para mim). Eu realmente não tenho ideia de como lidar com o fato de que$r$é discreto. Se o acima estiver correto, isso daria

$$ \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-e^{i(\omega t+kr)}}{G(k,\omega)^2} $$

que é o que eu esperava mostrar desde $G(k,\omega)=0$ por pelo menos um $\omega$ em cada $k$.

Buscando

Qualquer um dos seguintes

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$
2. Como abordar esses derivados funcionais?
3. O que há de errado com minha tentativa?
4. Confirme / negue a exatidão da minha "resolução".

Desde já, obrigado!

Answer 1

Responderei às suas perguntas não na ordem anterior, para possivelmente responder de uma maneira melhor.

1. Como abordar esses derivados funcionais?

A abordagem que você adotou (embora com alguns deslizes, como veremos abaixo) é a correta, ou seja, $$ \frac{\delta F_k }{\delta G}[G](\eta) \triangleq DF_k[G](\eta) \triangleq \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d \epsilon}} F_k(G+\epsilon \eta)\right|_{\epsilon=0}\label{1}\tag{1} $$ Os cálculos têm que ser feitos porque a mão direita era uma função da variável real $\epsilon$: a definição não depende de como o funcional $F_k$ age em seu argumento $G(r,t)$, portanto, independe da discrição e / ou continuidade das variáveis ​​envolvidas. Veremos a seguir que a discrição e finitude dos valores da variável$r= 0, 1, \ldots, N-1$, neste caso particular, pode ser tratado de forma eficiente, representando o argumento $G$ e a variação $\eta$ como vetores em um $N$espaço -dimensional, mas isso não é de forma alguma implícito pela própria estrutura da equação \ eqref {1}.
A estrutura dos derivados funcionais é ilustrada com alguns detalhes neste Q&A : pelas razões apresentadas, você verá que não é seguro confiar na entrada da Wikipedia sobre o assunto.

1. O que há de errado com minha tentativa?

O principal deslize que normalmente se faz (como neste caso e neste outro ) é esperar que este tipo de derivada tenha a estrutura de uma função: quase nunca o é. Normalmente, os derivados funcionais são operadores que mapeiam uma variação$\eta$ do argumento $G$do funcional à variação do valor correspondente do próprio funcional. Respondendo mais amplamente a este ponto da questão,

1. você está considerando variações do único $t$ variável: este não é um erro absoluto, já que você pode fazê-lo licitamente se tiver certeza de que a função de entrada $G=G(r,t)$ não pode alterar seu valor "aleatoriamente" se a variável discreta $r$é mantido constante. No entanto, como você está tentando analisar o desempenho de$F_k$ em entradas ruidosas, você deve considerar a possibilidade de ter $\eta=\eta(r,t)$ para $r=0, 1,\ldots,{N-1}$, e
2. você espera que a derivada funcional seja uma função, embora seja um operador integral: ver isso o ajudará a avaliar a variação de seu funcional quando sujeito a entradas com ruído.

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$

Formalmente, colocando $$ \begin{split} &\mathbf{r} =(0, 1, \ldots, {N-1}),\\ & e^{ik\mathbf{r}} =\big(1, e^{ik}, \ldots, e^{ik{(N-1)}}\big), \\ & \eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big), \end{split} $$ podemos escrever a derivada funcional de $F_k$ Como $$ \begin{split} \frac{\delta F_k}{\delta G}[G](\eta) &= DF_k[G](\eta)\\ & =-\frac{{1}}{G(k,\omega)^2}\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr} \int \eta(r, t)\;e^{i\omega t} \mathrm{d}t\\ & = -\frac{{1}}{G(k,\omega)^2} \int \left\langle e^{ik\mathbf{r}}, \eta(\mathbf{r}, t)\right\rangle e^{i\omega t} \mathrm{d}t \end{split}\label{2}\tag{2} $$ Onde $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle:\Bbb R^N\times\Bbb R^N \to\Bbb R$é o produto escalar comum. Usando a equação \ eqref {2} e uma escolha adequada da variação$\eta(r,t)$, você será capaz de analisar a sensibilidade de $F_k$ a variações particulares de sua função de argumento $G$.

1. Confirme / negue a exatidão da minha "resolução".

Sua resolução é "quase correta" no sentido de que, após realizar corretamente a derivada, você deve escolher uma variação adequada $\eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big)$para obter o seu resultado. E, obviamente, sua escolha deve ser consistente com o problema com o qual você está lidando.