Derivado do produto Blaschke

Question

Deixei $z_n$ seja uma sequência de Blaschke em $\mathbb{D}$ e deixar $B$ seja o produto Blaschke definido por $$B(z)=z^m\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\bar{z}_nz}$$ Estou tentando mostrar que a seguinte relação é verdadeira para qualquer $n$. $$(1-|z_n|^2)|B'(z_n)|=\prod_{m=1,m\neq n}^{\infty}\left|\frac{z_n-z_m}{1-\bar{z}_n z_m}\right|$$

Simplesmente tomando a derivada do produto, temos $$B'(z) =mz^{m-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\bar{z}_nz}+z^m\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_{n}|}{z_{n}}\frac{(\bar{z}_{n}z-1)+(z_{n}-z)\bar{z}_{n}}{(1-\bar{z}_{n}z)^{2}}$$

Mas estou tendo problemas para ver como o lado direito da equação pode ser derivado daqui.

Answer 1

Seu cálculo da derivada parece estar errado porque aparentemente você diferenciou o produto em termos de termos. Além disso, você está usando a variável$m$ para dois propósitos diferentes.

Pode-se usar a definição da derivada diretamente. $B(z_n) = 0$, Portanto $$ \begin{align} B'(z_n) &= \lim_{z \to z_n} \frac{B(z)}{z-z_n}\\ &= \lim_{z \to z_n} z^m \left(\frac{|z_n|}{z_n}\frac{-1}{1-\bar z_n z}\right) \cdot \prod_{k \ne n}\frac{|z_k|}{z_k} \frac{z_k-z}{1-\bar z_k z} \\ &= \frac{z_n^m}{|z_n|^2-1 }\frac{|z_n|}{z_n}\prod_{k \ne n} \frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z_n}{1-\bar z_k z_n} \end{align} $$ e então a conclusão desejada segue tomando o valor absoluto.

Answer 2

De mu comentário:

Por força bruta $$ B'(z)= mz^{m-1}\prod_{n\in\mathbb{N}}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\overline{z_n}z_n} + z^m\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|z_{n}|}{z_{n}}\frac{(\bar{z}_{n}z-1)+(z_{n}-z)\bar{z}_{n}}{(1-\bar{z}_{n}z)^{2}}\prod_{k\neq n}\frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z}{1-\overline{z_k}z} $$ então $$ B'(z_{n_0})=z^m_{n_0}\frac{|z_{n_0}|}{z_{n_0}}\frac{|z_{n_0}|^2 -1}{(1-|z_{n_0}|^2)^2}\prod_{k\neq n_0}\frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z_{n_0}}{1-\overline{z_k}z_{n_0}} $$

(Obter $\Big(\prod_nf_n(z)\Big)'$ pode-se usar $\log$ (formalmente primeiro e depois rigorosamente) para obter $$\Big(\prod_nf_n(z)\Big)' = \Big(\prod_n f_n(z)\Big)\Big(\sum_n\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}\Big)$$

Uma solução mais inteligente para este problema específico é perceber que $B(z_n)=0$ para cada $n$ (como na resposta de Martin R) e, em seguida, use a definição de derivada em $z_n$ diretamente.