Derivando a lei do gás ideal de Boyle e Charles

Question

Meu livro afirma

Observe que desde $PV = \text{constant}$ e $\frac{V}{T} = \text{constant}$ para uma determinada quantidade de gás, então $\frac{PV}{T}$ também deve ser uma constante.

Tentei provar isso, mas sem sucesso:
$$PV = a$$ $$\frac{V}{T} = b$$

  $$\frac{PV^2}{T} = ab$$ $$PT = \frac{a}{b}$$

Mas eu não sou capaz de cozinhar $\frac{PV}{T}$... Qualquer ajuda?

Answer 1

Esta formulação da lei de Boyle $$PV=\text{const}$$é muito incompreensível. Na verdade, a constante no lado direito serve apenas para ser independente de$P$ e $V$. Mas ainda pode depender de outros parâmetros, como$T$ (temperatura) e $N$(número de moléculas). Portanto, a melhor maneira de escrever esta lei é$$PV=a(T,N) \tag{1}$$ Onde $a(T,N)$ é alguma função desconhecida de $T$ e $N$.

Da mesma forma, esta formulação da lei de Charles $$\frac{V}{T}=\text{const}$$é incompreensível da mesma maneira. A melhor maneira de escrever é$$\frac{V}{T}=b(P,N) \tag{2}$$ Onde $b(P,N)$ é alguma função desconhecida de $P$ e $N$.

Agora podemos dividir a equação (1) por $T$ e multiplique a equação (2) por $P$ para obter $$\frac{PV}{T} = \frac{a(T,N)}{T} = P\ b(P,N).$$ A única maneira de isso acontecer enquanto varia $P$ e $T$ é aquele $\frac{a(T,N)}{T}$ é independente de $T$, e $P\ b(P,N)$ é independente de $P$. Portanto, depende apenas de$N$, e podemos chamar esta função $c(N)$.

Então, finalmente chegamos à lei do gás combinado $$\frac{PV}{T}=c(N) \tag{3}$$ Onde $c(N)$ é alguma função desconhecida de $N$ só.

Answer 2

$PV$ é constante para fixo $T$, e $V/T$ é constante para fixo $P$. Conseqüentemente

$PV=f(T)$ e $V/T=g(P)$.

Destes podemos escrever

$V=f(T)/P=T\times g(P)$.

Isso implica que

$f(T)=kT$ e $g(P)=k/P$ por alguma constante $k$.

Conseqüentemente $PV/T = k$ (constante, na verdade $nR$) é a resposta necessária.

Answer 3

Você não pode derivar assim porque as relações de proporcionalidade se mantêm apenas quando o terceiro parâmetro é mantido constante.

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No entanto, você pode derivar a lei dos gases ideais observando que, para altas temperaturas, obtemos um limite conforme mostrado abaixo:

$$ \lim_{ p \to 0 } p \overline{V} = f(T)$$

Portanto, o limite do produto conforme a pressão cai para zero é uma função única $ f(T)$para todos os gases, independentemente da substância utilizada. Podemos usar isso para definir a escala linear de Kelvin. Usando o ponto triplo da água e o zero absoluto como nossa referência,

$$ f(T) = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K} T$$

Onde $f(T_{trip-point})$ é o valor do limite no ponto triplo, usando esta e nossa primeira equação, podemos escrever,

$$ \lim_{ p \to 0} p \overline{V} = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K} T$$

e agora, a constante de gás universal é definida da seguinte forma:

$$ R = \frac{f(T_{trip-point})}{273.16K}$$

O que nos leva a:

$$ \lim_{ p \to 0} p \overline{V} = RT$$

Agora, chamamos de gás ideal aquele que obedece à relação acima mesmo quando o limite não está lá.

$$ p \overline{V} = RT$$

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Referência: a partir das 10:46 deste vídeo

Answer 4

Lei de Boyle: V ∝ (1 / P) (constante T, n)

Lei de Charles: V ∝ T (constante P, n)

Hipótese de Avogadro: V ∝ n (constante T, P)

A combinação das três leis para gases ideais resulta em

V ∝ nT / P

você pode passar da proporcionalidade à igualdade introduzindo um R constante

$V =R nT/P$

e então você tem isso $PV/T = Rn$