Desigualdade integral para função de Schwartz

Question

Deixei $s\in(0,1)$, $u\in\mathcal{S}({\mathbb{R}^n})$, $x\in\mathbb{R^n}$ com: $|x|\geq1$, eu tenho que provar que: $$ \int_{B_{|x|/2}(0)} \frac{|u(x+y)+u(x-y)-2u(x)|}{|y|^{n+2s}}\,dy\leq c|x|^{-n-2s}, $$ Onde: $c=c(u,n,s)>0$é uma constante. Acho que devo usar algo como:$$ |u(x+y)+u(x-y)-2u(x)|\leq|D^2u(y)||y|^2,$$mas depois eu não posso continuar. Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Pelo teorema de Taylor, para $|x|\ge1$, $|y|\le|x|/2$e real $k$, $$u(x+y)-u(x)=u'(x)(y)+\int_0^1 ds\,(1-s)u''(x+sy)(y,y) =u'(x)(y)+O(|y|^2/|x|^k),$$ $$u(x-y)-u(x)=-u'(x)(y)+\int_0^1 ds\,(1-s)u''(x-sy)(y,y), =-u'(x)(y)+O(|y|^2/|x|^k).$$ Adicionando estes, obtemos $$u(x+y)+u(x-y)-2u(x)=O(|y|^2/|x|^k).$$ Além disso, $$u(x+y)+u(x-y)-2u(x)=O(1/|x|^k).$$ Então, sua integral é $$O\Big(|x|^{-k}\,\int_{\mathbb R^n}\frac{dy\,\min(1,|y|^2)}{|y|^{n+2s}}\Big)= O\Big(|x|^{-k}\,\int_0^\infty\frac{dr\,r^{n-1}\min(1,r^2)}{r^{n+2s}}\Big)=O(|x|^{-k}),$$ para qualquer real $k$.