Desigualdade integral para função simétrica [duplicado]

Question

Deixei $f$ ser uma função contínua de $[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$. Quero provar o seguinte resultado, mas não consigo nem começar.

$$I \equiv \int_0^1 \int_0^1 x \wedge yf(x)f(y)dxdy \ge 0 $$ com igualdade se e somente se $f(x) = 0 \quad \forall x \in [0,1]$. Obviamente posso observar que$I = 2\int_{x \leq y} x f(x) f(y)dxdy$mas isso é inútil. Quaisquer dicas / soluções seriam muito apreciadas, e sinto muito por não ter realmente nenhuma ideia até agora por conta própria. Obrigado se puder ajudar!

Answer 1

Deixei $h_x(t)=0$ para $t >x$ e $1$ para $t \leq x$. Então$\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)dt=x\wedge y$. Então (trocando a ordem de integração), podemos escrever$$I=\int_0^{1}\int_0^{1}\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)dtf(x)f(y)dxdy$$ $$= \int_0^{1}(\int_0^{1}\int_0^{1} h_x(t)h_y(t)f(x)f(y)dxdy) dt$$ $$=\int_0^{1}(\int_0^{1} h_x(t)f(x)dx)^{2}dt \geq 0.$$ A igualdade se mantém apenas quando $\int_0^{1} h_x(t)f(x)dx=0$ para todos $t$ que significa $\int_t^{1}f(x)dx=0$ para todos $t$. Isso implica$f(x)=0$ para todos $x$.