Desigualdades para $\sin$ e $\cos$

Question

Eu estava trabalhando em um problema de matemática e, no final do livro, recebemos que $|\sin\theta|$ $\leq$ $|\theta|$. Isso me fez pensar: existem outras propriedades semelhantes a esta que se aplicam a$\cos$ ou qualquer uma das outras desigualdades trigonométricas?

Answer 1

Observe aquilo

$$\cos\theta\le 1.$$

Em seguida, integrando de $0$ para $\theta$,

$$\sin\theta\le\theta.$$

Em seguida, integrando de $0$ para $\theta$,

$$1-\cos\theta\le\frac{\theta^2}2.$$

Em seguida, integrando de $0$ para $\theta$,

$$\theta-\sin\theta\le\frac{\theta^3}6.$$

Em seguida, integrando de $0$ para $\theta$,

$$\frac{\theta^2}2+\cos\theta-1\le\frac{\theta^4}{24}.$$

E assim por diante. Isso restabelece a expansão de Taylor, com um limite garantido. (Você pode simetrizar usando argumentos de paridade.)

Answer 2

Dentre as conhecidas desigualdades também podemos mostrar que

$$\cos \theta \ge 1-\frac12 \theta^2$$

na verdade, por identidades trigonométricas, temos que

$$\cos(\theta)=1-2\sin^2 \left(\frac \theta 2\right) \ge 1-2\left(\frac \theta 2\right)^2=1-\frac12 \theta^2$$

e muitas outras desigualdades semelhantes podem ser obtidas por consideração geométrica ou principalmente pelas séries de Taylor.

Consulte o relacionado

• Como provar isso $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$?
• Prove as desigualdades $1-\frac{x^2}{2}\le \cos(x)\le1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$
• Expansão de Taylor e funções trigonométricas
• Provando isso $x - \frac{x^3}{3!} < \sin x < x$ para todos $x>0$