Determinar a transformada de Fourier
Recebo a transformada de Fourier de $f$ de $\widehat{f}(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^{4}}$ e tem que determinar a transformada de Fourier $\widehat{g}$ do $g(x) = f(x) \cos(2 \pi x)$.
Eu tentei reconstruir $f$ de sua transformação de Fourier tal que $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\xi)e^{2 \pi i x \xi}d\xi$ e então usando $f$ para calcular diretamente a transformada de Fourier de $g$ dado por $\widehat{g}(\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} g(x)e^{-2 \pi i x \xi}dx$.
Mas estou sempre preso a essas integrais. Existe talvez alguma identidade / truque que contorne os cálculos diretos?
Respostas
Deixei $$\mathcal{F}{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi isx }dx$$Nós temos $$\mathcal{F}(fg) = \mathcal{F}{f}*\mathcal{F}g$$Onde $*$denota convolução. Também temos$$\mathcal{F}\cos 2\pi a t = \frac{1}{2}(\delta(s-a)+\delta(s+a))$$ Aqui $a = 1$ e o resultado é $$\mathcal{F}g(s) = (\frac{1}{2}(\delta(s-1)+\delta(s+1)))*\frac{1}{1 + s^{4}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+(s-1)^4} + \frac{1}{1+(s+1)^4})$$
Antes de alguns comentários acrescentando algum contexto à abordagem muito eficiente de @SHW, pode valer a pena fornecer um argumento (icônico!) Que seja mais fácil de justificar:
Uma vez que o cosseno é uma combinação linear de exponenciais complexas, é suficiente avaliar $\int_{-\infty}^\infty { e^{itx}\over 1+x^4 }dx$ sério $t$. Existem dois casos, dependendo do sinal de$t$. Para$t\ge 0$, a função $z\to e^{itz}$é delimitado no meio-plano superior . Assim, como$R\to +\infty$, a integral de $e^{itz}/(1+z^4)$ sobre um semicírculo no semiplano superior, de raio $R$, vai para $0$, por estimativas fáceis. A integral sobre esse arco auxiliar, junto com a integral ao longo$[-R,R]$ na linha real, é $2\pi i$vezes a soma dos resíduos dentro do contorno fechado resultante. Estes ocorrem exatamente em$z=e^{2\pi i/8}$ e em $z=e^{2\pi i\cdot 3/8}$...
Para $t\le 0$, devemos usar um arco no semiplano inferior, em vez disso, porque é onde $z\to e^{itz}$ é limitado, de modo que a integral sobre o arco auxiliar vai para $0$, e o teorema do resíduo é facilmente aplicado.
A conversão de produtos em convoluções pela transformada de Fourier é freqüentemente uma heurística muito boa, na medida em que empacota certos cálculos padrão de maneira útil. Mas, sim, existem alguns perigos, especialmente em delinear os limites de aplicabilidade das ideias. Para começar, sim, como calcular as transformadas de Fourier de funções como$e^{iz}$ ou $\cos(z)$, quando as integrais não convergem de forma alguma? Bem, um sentido ampliado se (comprovadamente) dar respostas auto-consistente (como usado em @ discussão de SHW), e às vezes dá uma rota computacional mais econômico.
Alguns dos riscos potenciais incluem o cálculo de convoluções para funções não clássicas, ou seja, não definidas por pontos, uma vez que as integrais não podem ser integrais literais. Outro perigo é sobre a associatividade da convolução: ela definitivamente falha mesmo em situações que parecem mundanas, como o icônico$$ (1*\delta')*H \;=\; 0 * H \;=\; 0\;\not=\; 1\;=\; 1 * \delta \;=\; 1 * (\delta' * H) $$ Onde $1$ é a função idêntica e $H$ é a função escalonada de Heaviside.
EDITAR: uma lista não exaustiva de situações em que a transformada de Fourier converte produtos em convoluções:
Para funções de Schwartz (mapeadas para si mesmas pela transformada de Fourier), essa propriedade é válida e temos associatividade. Além desse caso, as coisas não podem permanecer totalmente simétricas. Por exemplo, no contra-exemplo icônico, todas as distribuições são temperadas, portanto, têm transformadas de Fourier. Um obstáculo que podemos antecipar é que se$f,g$ não podem ser multiplicados por pontos, o que pode ocorrer em parte porque eles não têm valores pontuais, então $fg$ pode não ser nada do que possamos tomar uma transformada de Fourier em primeiro lugar.
Outra questão que apresenta algumas limitações é a extensão da definição de convolução (não apenas "uma definição", mas interagindo razoavelmente com outras operações). E não pode ser totalmente simétrico, à luz do contra-exemplo icônico. Uma extensão válida é ter distribuições com suporte compacto$u$ agir em funções suaves $f$ de $(u*f)(x)=u(T_xf)$ Onde $T_x$ é tradução de $x$. Isso de fato dá outra função suave como resultado. Então, há provavelmente uma "convolução" de distribuições compactamente suportadas de modo que, para todos os$f$ temos $(u*v)*f=u*(v*f)$. Na verdade, pode ser melhor usar uma notação diferente para a ação , para iluminar a falta de simetria: escrever$u\cdot f$... então $(u*v)\cdot f=u\cdot (v\cdot f)$.
A partir dos resultados do tipo Paley-Wiener, sabemos que certas transformações de Fourier de funções inteiras são distribuições com suporte compacto. Mais tipicamente, começamos com distribuições compactamente suportadas muito tangíveis e temos alguma maneira ad-hoc conveniente de calcular suas transformadas de Fourier (além da integral óbvia, que normalmente não faria sentido).
Assim, como algumas fontes clássicas indicam, uma restrição em querer associatividade de convolução é que pelo menos dois dos itens envolvidos devem ser compactamente suportados. Essa aparente assimetria é genuína: como no parágrafo anterior, "na realidade" coisas compactamente apoiadas agem sobre não compactamente apoiadas, em muitos casos onde coisas não compactamente apoiadas não agem razoavelmente.