Determine o número de soluções como $a$ e $b$ mudança.

Question

Considere este primeiro sistema linear.
\ begin {cases} ax_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + ax_2 = 0 \\ 2x_1 + (1 + a) x_2 = a \ end {cases}
Usando a Eliminação Gaussiana na matriz associada, acabei com o seguinte.

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 1&a&0\\ 0&-2-a&a\\ 0&1-a^2&0 \end{array} \right] $$

De acordo com o que fiz, o sistema deve ter uma solução única para $a= \pm1$ ou $a = 2$, e nenhum caso contrário. No entanto, a resposta correta de acordo com o livro deve ser$a\neq\pm1$para uma solução única, caso contrário, nenhuma solução. Eu estudei as estantes de livros e não importa quantas vezes eu tente, consigo resolver esses dois sistemas corretamente.

Considere agora este segundo sistema linear. \ begin {cases} 4x_1 + x_2 = 8 \\ 3ax_1-2x_2 = 0 \\ 5x_1 + 2x_2 = 5 \\ -x_1 + 7bx_2 = 8 \ end {cases}

Que não consigo resolver corretamente.
Aqui está uma das minhas muitas tentativas de resolver o primeiro sistema.

Por favor ajude e use$x$ e $y$ em vez de $x_1$ e $x_2$(para não tornar isso estranho para vocês). Muito Obrigado!

Answer 1

O sistema original de equações: $$ \begin{cases} ax_1+x_2=0\\[4pt] x_1+ax_2=0\\[4pt] 2x_1+(1+a)x_2=a\\ \end{cases} $$ A matriz aumentada: $$ \left[ \begin{array}{cc|c} a&1&0\\ 1&a&0\\ 2&1+a&a\\ \end{array} \right] $$ Em seguida, troque $r_1,r_2$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ a&1&0\\ 2&1+a&a\\ \end{array} \right] $$ Em seguida, faça as substituições:$\;r_2=r_2-ar_1\;\;\;$e$\;\;\;r_3=r_3-2r_1\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a^2&0\\ 0&1-a&a\\ \end{array} \right] $$ Do exposto, vemos que se $a=1$, fila $3$ se tornaria $[0\;\;0\;\;1]$, portanto, para $a=1$, o sistema não tem soluções.

Então assuma $a\ne 1$.

Em seguida, troque $r_2,r_3$: $$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&1-a^2&0\\ \end{array} \right] $$ Em seguida, faça a substituição:$\;r_3=r_3-(1+a)r_2\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&0&-a^2-a\\ \end{array} \right] $$ Em seguida, para melhorias cosméticas, faça a substituição:$\;r_3=-r_3\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&0&a^2+a\\ \end{array} \right] $$ Do acima exposto, olhando para a linha $3$, segue-se que não há soluções se $a^2+a\ne 0$.

Segue-se que para todos os valores de $a$ exceto $a=0, a=-1$, não há soluções, e para esses dois valores de $a$, o sistema tem uma solução única (obtida usando as duas primeiras linhas da matriz reduzida).