Diagonalizable iff $V$ é a soma direta do eigenspace

Question

Aí vem a definição fundamental de diagonalizável: $A=PDP^{-1}$ E podemos provar que $A$ é diagonalizável sse $A$ tem $n$autovetores lineares independentes. Mas aqui está outro teorema dizendo que A é diagonalizável sse$V$ decompõe-se como uma soma direta de autoespaços, ou seja, $V=V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}$ para $dim V=n$, mas não tenho certeza se k aqui é igual a n, porque a base de cada autoespaço $V_{\lambda_i}$ pode conter mais de um elemento, então parece que $k\leq n$. Ou será que para os casos diagonalizáveis, temos$n$autovalores distintos, então a cardinalidade da base de cada autovalor é exatamente um? Alguém pode ajudar-me? Obrigado

Answer 1

Se n autovalores distintos estiverem presentes, segue-se a diagonalizabilidade. Mas matrizes com autovalores repetidos também podem ser diaganozibale.

E se $V$decompõe-se na soma direta de autoespaços, então toma qualquer base para cada espaço próprio e então sua união. Esta união terá exatamente n elementos e consistirá em vetores próprios, comprovando a diagonalização. Podemos ver que a dimensão dos autoespaços individuais não importa. A coisa principal todos esses espaços próprios juntos GERAM o V inteiro; em geral, eles não podem.