Diferenciabilidade em zero

Question

Considere a função dada por,

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Agora eu quero determinar $k$ e $m$ de tal modo que $f$ é diferenciável em $x=0$.

Além disso, quero determinar $k$ tal que a linha $k=y-36x$ é perpendicular à seguinte curva dada por,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

Para a primeira tarefa concluí $m=1$ e $k\in \mathbb{R}$. Está correto, para a segunda tarefa, eu não fiz nenhum progresso

Answer 1

Continuidade:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

Diferenciabilidade:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

Você pode obter 2 equações - uma para continuidade e outra para diferenciabilidade.

VERIFICANDO A CONTINUIDADE

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

VERIFICANDO DIFERENCIABILIDADE $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

Vou deixar você concluir.