Diferencial de matriz de Gram

Question

Eu tenho a função com valor de matriz $M=AXX^\top A^\top$, e estou procurando uma expressão para sua derivada com relação a cada elemento de $X$. Aqui$A$ é $n\times n$ e $X$ é $n\times m$ com $m\leq n$

Estou procurando algo na forma $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ com $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Vasculhando o Matrix Cookbook, não consegui encontrar esta ou qualquer outra expressão geral que parecesse útil.

O mais próximo que consegui encontrar foi a identidade:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ Onde $b$ e $c$são vetores. Sinto que isso pode conter a solução, mas não tenho certeza de como generalizá-la.

Answer 1

Podemos calcular a derivada $\frac{dM}{dX}$ como uma derivada direcional: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Simplificando o numerador, encontramos \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} portanto \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Conforme mencionado nos comentários, o parcial $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ pode então ser encontrado substituindo $Y = E_{ij}$, a matriz com um $1$ no $i,j$entrada e zeros em outro lugar. assim\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}