Discuta a fórmula de Taylor com o resto de que isso é válido.

Question

Eu obtenho os polinômios de Taylor e que o resto é, obviamente, a diferença da função e seu taylorpolinômio ao enésimo grau. Mas o resto é meio que me confundindo e como usar o fato de que sabemos a derivada do enésimo grau e que isso é verdadeiro para x maior que 1.

Answer 1

O teorema de Taylor diz $f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}$ para alguns $\xi$ entre $1$ e $x$. Tomando valores absolutos,$$ |f(x)-T_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}\right|\leq M\,\frac{|x-1|^{n+1}}{(n+1)!}. $$ Onde $M$ é qualquer limite superior em $|f^{(n+1)}(x)|$. Portanto, sua estratégia é mostrar$$ \frac{|f^{(n+1)}(x)|}{(n+1)!}\leq\frac{1}{n+1}, $$ ou equivalente, $$ |f^{(n+1)}(x)|\leq n! $$ Conectando $f^{(n+1)}(x)=(-1)^n n! x^{-(n+1)}$, deve estar claro.