Dual de álgebra é uma coalgebra

Question

Deixei $A$ ser uma álgebra sobre o anel unital comutativo $k$ que é finitamente gerado e projetivo como um $k$-módulo. Deixei$A^*= \operatorname{Hom}_k(A,k). $ Então o mapa natural $$i: A^* \otimes A^* \to (A \otimes A)^ *$$ é bijetivo e isso nos permite definir $$\Delta:= i^{-1}\circ m_A^*$$ Onde $m_A: A \otimes A \to A$ é o mapa de multiplicação em $A$. Estou tentando verificar isso$\Delta$ é uma complicação em $A^*$.

E se $\{(e_i, f_i)\}_{i=1}^n$ é uma base dupla para $A^*$, então é fácil ver (pergunte se você deseja que eu adicione detalhes) que $$\Delta(g) = \sum_{i,j=1}^n g(e_i e_j) f_i \otimes f_j$$

Com isso, eu calculei $$(\Delta \otimes \operatorname{id})\Delta(g) = \sum_{i,j,r,s} g(e_i e_j) f_i(e_r e_s) f_r \otimes f_s \otimes f_j$$ e $$(\operatorname{id}\otimes \Delta)\Delta(g) = \sum_{i,j,r,s} g(e_i e_j) f_j(e_r e_s) f_i \otimes f_r \otimes f_s$$

Essas duas expressões deveriam ser iguais (se eu não cometi um erro de cálculo), mas não vejo por quê. Tentei alterar os índices de soma, mas não consegui chegar lá.

Answer 1

Posso dizer algo bobo, mas acredito que você precisará das constantes estruturais para completar seu argumento. Ou seja, escreva$$ e_ie_j = \sum_{k=1}^n c_{ij}^k e_k, $$ e $$ g = \sum_{\ell=1}^n g(e_\ell) f_\ell, $$ e depois de uma caculação tediosa, você obterá o resultado.

Não acredito que essa seja a melhor forma de comprovar esse resultado. Este é um argumento de menos esforço:$$ i\colon A^* \otimes A^* \to (A\otimes A)^* \quad \text{and} \quad j\colon A^*\otimes A^*\otimes A^* \to (A\otimes A\otimes A)^* $$os isomorfismos naturais. Mostre por um cálculo direto que$$ j^{-1}\circ (\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ i = \mbox{id}\otimes \Delta \quad \text{and} \quad j^{-1}\circ (m_A \otimes \mbox{id})^*\circ i = \Delta\otimes \mbox{id}. $$ Nós sabemos isso $$ m_A \circ (\mbox{id}\otimes m_A) = m_A \circ (m_A\otimes \mbox{id}), $$ então, pegando o dual e compondo com $j^{-1}$ nós obtemos $$ j^{-1}\circ(\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ m_A^* = j^{-1}\circ(m_A\otimes \mbox{id})^*\circ m_A^*. $$ Agora observe que $$ j^{-1}\circ(\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ m_A^* = j^{-1}\circ(\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ i\circ i^{-1}\circ m_A^* = j^{-1}\circ(\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ i\circ \Delta $$ e usando a relação acima $$ j^{-1}\circ(\mbox{id}\otimes m_A)^*\circ m_A^* = (\mbox{id}\otimes\Delta) \circ \Delta. $$ similarmente $$ j^{-1}\circ(m_A\otimes \mbox{id})^*\circ m_A^* = (\Delta\otimes \mbox{id}) \circ \Delta, $$ que completa a prova.