Dúvida no cálculo da probabilidade.

Question

X e Y são dois jogadores de xadrez:

• A probabilidade de X ganhar um jogo específico contra Y é $1/3$ e a probabilidade de Y ganhar o jogo é $2/3$.
• Eles jogam uma série de jogos em que as regras são tais que X vence dois jogos consecutivos, então X vence a série e Y vence a série é quando ele vence $4$ jogos consecutivos.
• Eles começam o jogo e jogam até que um deles ganhe a série.

Seguindo essas regras, qual é a probabilidade de Y vencer a série?

Eu calculei a probabilidade considerando $4/5/6$ total de jogos individualmente, mas não consegui encontrar nenhum padrão para que eu possa somar $n$ número de jogos e tendência $n$ ao infinito$\ldots$ essa é minha abordagem básica em tais problemas, mas não poderia fazer aqui$\ldots$

Answer 1

Os estados não terminais são $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, onde o nome $w$expressa as últimas vitórias relevantes. Para cada um desses estados$w$ nós temos uma probabilidade $p_w$ este $Y$ganha a série . Para essas probabilidades, temos as seguintes equações:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Por exemplo, quando estamos no estado $YY$jogador $Y$ganha a série com probabilidade$p_{YY}$. No próximo jogo$Y$ ganha com probabilidade ${2\over3}$ e então estamos no estado $YYY$, e $Y$ perde com probabilidade ${1\over3}$, e então estamos no estado $X$. Desta forma, obtemos a equação$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

Resolver este sistema dá a probabilidade inicial $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$