$e$ e $\ln$ : como derivar duas equações equivalentes

Question

Ao resolver a equação

$$150 = 160 - 40 e^{-t/20}$$

Chego a uma solução que me parece natural da seguinte forma:

\begin{align*} .25 &= e^{-t/20}\\ \ln(.25) &= -t/20\\ t &= -20 \ln(.25)\\ &= 27.7259. \end{align*}

No entanto, o livro dá o mesmo resultado que

$$t = 40 \ln(2) = 27.7259.$$

Alguém pode me explicar como derivar o resultado do livro?

Atenciosamente, Danny.

Answer 1

$$-20 \ln (.25) = -20 \ln (\frac 14) = 20 \ln (4) = 40 \ln 2$$

Answer 2

Nós temos $0.25=\frac 14=2^{-2}$, assim $\log (0.25) = -2 \log (2)$