É possível “compactar” esta notação?

Question

Preciso de ajuda com anotações. Suponha que a desigualdade $$ 0\leq s_i\leq p_i p_j^{\ast} \quad\mbox{ for } i, j =1, 2 \mbox{ and } i\neq j$$ detém onde $p^{\ast}$denotam o expoente crítico de Sobolev. Preciso escrever em "forma compacta" (quero dizer, como na desigualdade acima) as seguintes desigualdades $$ 1<s_3<p_1^{\ast}, \quad 1<\frac{s_1 s_3}{s_3-1}<p_2^{\ast}, \quad 1< s_4 <p_2^{\ast},\quad 1<\frac{s_2 s_4}{s_4-1}<p_1^{\ast}.$$

Alguém poderia me ajudar?

Agradeço antecipadamente!

EDIT: para $i, j = 1, 2, 3$ com $i\neq j$ isto é $0\leq s_i\leq p_i\min(p_j^{\ast})$, Preciso compactar a expressão: $$1 <s_4 <p_1^{\ast}, \quad 1< s_5<p_2^{\ast}, \quad 1< s_6 <p_3^{\ast}$$ e $$1<\frac{s_1 s_4}{s_4 -1}<\min(p_2^{\ast}, p_3^{\ast},\quad 1<\frac{s_2 s_5}{s_5-1}<\min(p_1^{\ast}, p_3^{\ast}), \quad 1<\frac{s_3 s_6}{s_6 -1}<\min(p_1^{\ast}, p_2^{\ast}).$$

Answer 1

Assumindo que a seguinte relação é válida para $j=4$:

\ begin {align *} & 1 <s_5 <p_1 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_6 <p_2 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_7 <p_3 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_8 <p_4 ^ {\ ast} \\ \\ & 1 <\ frac {s_1 s_5} {s_5 -1} <\ min \ {p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_2 s_6} {s_6-1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \} \\ \\ & 1 <\ frac {s_3 s_7} {s_7-1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, p_4 ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_4 s_8} {s_8- 1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast} \} \\ \ end {alinhar *}

Podemos concluir de forma geral $j\geq1$: \ begin {align *} & 1 <s_ {j + 1} <p_1 ^ {\ ast}, \ quad 1 <s_ {j + 2} <p_2 ^ {\ ast}, \ quad \ cdots, \ quad 1 < s_ {2j} <p_j ^ {\ ast} \\ \\ & 1 <\ frac {s_1 s_ {j + 1}} {s_ {j + 1} -1} <\ min \ {p_2 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \}, \ quad 1 <\ frac {s_2 s_ {j + 2}} {s_ {j + 2} -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_3 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \} \\ & \ qquad \ qquad \ cdots \\ & 1 <\ frac {s_j s_ {2j}} {s_ {2j } -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, p_2 ^ {\ ast}, \ ldots, p_ {j-1} ^ {\ ast} \} \\ \ end {align *}

ou mais compacto para geral $j\geq 1$ e $1\leq k\leq j$:

\ begin {align *} & \ color {blue} {1 <s_ {j + k} <p_k ^ {\ ast},} \\ \\ & \ color {blue} {1 <\ frac {s_k s_ {j + k}} {s_ {j + k} -1} <\ min \ {p_1 ^ {\ ast}, \ ldots, p_j ^ {\ ast} \} \ setminus \ {p_k ^ {\ ast} \}} \ end {align *}