Elementos do grupo quociente com $\mathbb Z$-base

Question

Grupo livre abeliano $G, H$ tem posto $2$ e $G$ tem $\Bbb Z$-base $x, y$, E se $H$ tem $\Bbb Z$-base $$2x+y, 2x-3y$$ então quais são os elementos de $G/ H$ ?

Eu sou novo nos tópicos, então não sei por onde começar. A pergunta é motivada a partir do seguinte trecho do livro Algebraic-Number Theory de Ian Stewart e David Tall, na página 30 -

por exemplo, se $G$ tem classificação $3$ e $\Bbb Z$-base $x, y, z$; e se$H$ tem $\Bbb Z$-base $$3x+y-2z, 4x-5y+ z, x +7z,$$ então $|G/ H|$ é o valor absoluto de $\begin{bmatrix} 3 & 1 & -2\\ 4 & -5 & 1\\ 1 & 0 & 7 \end{bmatrix}$, a saber, 142.

Eu queria saber quais são os elementos do grupo de quociente $G/H$, e perguntei, mas como o pedido é grande, mudei para minha pergunta atual.

Answer 1

Eu assumo isso $G$ é um grupo Abeliano livre em um conjunto de dois elementos $\{x,y\}$ e $H$ é o subgrupo de $G$ gerado por $2x+y$ e $2x-3y$. É fácil verificar isso$H$ tem classificação $2$. O teorema sobre subgrupos de um grupo Abeliano livre finitamente gerado (ver, por exemplo, [§20, Kur]) implica que existem bases$\{u_1,u_2\}$ e $\{v_1,v_2\}$ dos grupos $G$ e $H$, de tal modo que $v_1=k_1u_1$ e $v_2=k_2u_2$ para alguns números naturais $k_1|k_2$. Segue que$G/H$ é isomórfico, um produto direto de grupos cíclicos de ordens $k_1$ e $k_2$.

Os números $k_1$ e $k_2$pode ser encontrado da seguinte forma. Deixei$u_1=a_{11}x+a_{12}y$, $u_2=a_{21}x+a_{22}y$, e $A=\|a_{ij}\|$, $1\le i,j\le 2$. Desde a$\{u_1,u_2\}$ é a base do grupo $G$, existem inteiros $b_{ij}$, $1\le i,j\le 2$ de tal modo que $x=b_{11}u_1+b_{12}u_2$ e $y=b_{21}u_1+b_{22}u_2$. Segue-se$BA=I$, Onde $B=\|b_{ij}\|$, $1\le i,j\le 2$, o Matrix $A$ é invertível.

A fórmula de Cauchy-Binet implica que se$M$ é um inteiro $n\times n$ matriz e $A$ e é invertível $n\times n$ matriz inteira, depois matrizes $M$ e $MA$ tem os mesmos divisores $d_1,\dots, d_k$, Onde $d_i$ é o maior divisor comum de menores de $i$-ésima ordem da matriz.

Desde a $$\begin{pmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{pmatrix} A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & -3\end{pmatrix},$$ $k_1=\gcd (2,1,2,-2)=1$ e $k_1k_2=\gcd\det \begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & -3\end{pmatrix}=8$.

Referências

[Kur] AG Kurosh, Teoria de grupo , 3ª ed., Nauka, Moskow, 1967. (em russo)