$\ell$Representações -adic de campos finitos

Question

Li recentemente o livro "Teoria da $p$-adic Galois Representations ", escrito por Fontaine e Ouyang. (Aqui está o link para este livro: http://staff.ustc.edu.cn/~yiouyang/galoisrep.pdf)

Deixei $K:=\mathbb{F}_q$ seja o campo finito de característica $p$ com $q$elementos Consertar um fechamento algébrico$\overline{K}$ do $K$, e denotam o grupo Galois de $\overline{K}/K$ de $G_K$. O Frobenius geométrico$\tau_K:\overline{K}\rightarrow \overline{K}$ do $G_K$ é $x\mapsto x^{1/q}$. E se$\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ é um contínuo dimensional finito $\ell$representação -adic (isso significa $V$ é uma dimensão finita $\mathbb{Q}_{\ell}$- espaço vetorial), nós escrevemos $u:=\rho(\tau_K)$. Então temos a seguinte proposição:

Proposição. (Prososição 1.10 no livro) Os autovalores de$u$ estão todos dentro $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$. Por outro lado, dado qualquer$u\in \text{GL}(V)$, existe um homomorfismo contínuo $\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ de tal modo que $u=\rho(\tau_K)$ se todos os valores próprios de $u$ estão dentro $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$.

Não tenho ideia de como provar isso, embora os autores digam que é fácil.

Acho que o ponto principal é como determinar o elemento $\rho(\tau_K^n)$ para $n\in \widehat{\mathbb{Z}}$. No livro, eles escrevem$\rho(\tau_K^n)=\lim_{m\in \mathbb{Z}, m\mapsto n}u^m$, mas não consigo entender o que significa limite.

Answer 1

Não é isso que a proposição diz; diz que os autovalores são unidades. Eles não têm que mentir$\mathbb{Q}_l$.

Aqui está uma dica. Se uma matriz invertível$M$ agindo em $V$tem um valor próprio que não é uma unidade, então, após possivelmente inverter$M$, podemos assumir que tem um autovalor $\lambda$ com $|\lambda| > 1$. Mas então$M^{n}$ para grande $n$ terá um autovalor $\lambda^n$ Onde $|\lambda^n|$ está ficando cada vez maior.

Agora você tem que entender (dada a estrutura do $\widehat{\mathbb{Z}}$) por que a continuidade de $G_K \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ implica que haverá alguma grande integral $n$ de tal modo que $M^n$ e $M^0 = I$ estão tão próximos quanto você deseja mapas lineares, e isso irá impedir os valores próprios de $M^n$ sendo grande.