Em um limite para a norma resolvente

Question

Deixar $H$ser um espaço de Hilbert complexo, infinito e separável. Corrija quaisquer dois operadores diferentes de zero$A,B \in B(H)$ de tal modo que $B$ não é um múltiplo escalar de $A$. É bem sabido que:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Isso decorre facilmente de:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Agora considere o operador $A+ cB$ Onde $c$ é um número real positivo, e fixa algum número complexo $z$. Podemos dizer isso, para todos$\epsilon >0$, existe $M>0$ de tal modo que:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Intuitivamente , por$c \rightarrow +\infty$, Nós teríamos:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

Porque $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ e $B$está consertado. No entanto, não tenho conhecimento de nenhuma referência para um resultado desse tipo. Alguém tem uma referência ou prova disso?

Answer 1

Como Michael já observou: É simples construir contra-exemplos se $B$ tem um kernel não trivial $N(B)$ e $A$ mapas $N(B)$ em si mesmo, desde em $N(B)$ o tamanho de $c$ não desempenha nenhum papel.

Mas mesmo se $B$ é um isomorfismo, mesmo a identidade $B=I$, a conjectura é falsa: $z-A-cB=(z-c)-A$. O máximo da norma do inverso (acima de tudo$z$ do conjunto resolvente correspondente) é claramente independente de $c$.

Enfim, se $B$é um isomorfismo, existem algumas estimativas:

Há espera $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, e pode-se usar a estimativa resolvente mencionada na pergunta para obter $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Isso dá uma estimativa se $|c|$ é grande comparado a $|z|\|B^{-1}\|$.

Se $|z|$ é grande comparado a $|c|\|B\|$, a estimativa da pergunta pode ser usada.

Se nenhum dos dois for o caso, não precisa haver uma boa estimativa, conforme mencionado acima ($B=I$)