Encontrando lim sup

Question

Não consigo encontrar uma maneira de resolver isso. Eu tentei usar a definição de lim sup, mas não cheguei aonde.

Considere a série: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Então $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Edit: Este é o trabalho que fiz ontem à noite. Minhas desculpas por não mostrar meu trabalho.

Eu olhei a sequência $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Eu observei que parece$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Então, os termos gerais parecem $(\frac{2}{3})^n$ para $n$ estranho e $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ para $n$ até.

Olhei para os supremos das sequências de cauda e então decidi encontrar seu ínfimo. A sequência que encontrei tem$\infty$ como o supremo de cada sequência da cauda desde a sequência para $n$mesmo está aumentando monotonicamente. Assim, inferi que o limsup deve ser$\infty$. No entanto, a resposta foi dada para ser$\frac{1}{2}$.

Esta sequência que encontrei é obviamente um erro, pois os expoentes que peguei estão errados.

A sequência realmente parece $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Mas ainda assim, a sequência do supremo das caudas consiste apenas em $\infty$ e, portanto, o ínfimo dos supremos é $\infty$. o que estou perdendo?

Answer 1

Seu argumento está perfeitamente bem e o "bandido" neste aqui é o autor do problema por não deixar claro como $a_{n}$deve ser expresso. Algo que descobri ser verdadeiro para alguns autores é isso; em caso de dúvida, um livro didático de Matemática é sempre escrito em "três".

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Se ao invés de tratar $a_{n}$ ser uma sequência de poderes recíprocos alternados de $2$ e $3$, nós levamos $a_{n}$ para ser uma sequência de poderes iguais, como em $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, então temos uma descrição alternativa (e em retrospectiva, uma verdadeira) da série em questão. Pela seguinte sequência de cálculos, alcançamos$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

Primeiro reescrevendo $a_{n}$ em um denominador comum, obtemos $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ e entao

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Dividindo numerador e denominador por $3^{n+1}$ nós chegamos em $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Agora desde $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ nós entendemos isso $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Porque $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ para uma sequência $x_{n}$ que converge, podemos inferir que $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.