Encontrando matrizes elementares

Question

Então, vamos considerar essas matrizes $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

E a questão é encontrar a matriz invertível $X$ de tal modo que $AX=B$ e expresso $X$como um produto de 2 matrizes elementares.

O que eu sei que tentei: então eu sei que você poderia facilmente obter X invertendo A e multiplicando-o por B, mas eu preciso das duas matrizes elementares, então tentei uma solução diferente.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Então o que eu fiz foi tentar tornar A igual a por operações de linha elementares e fazer o mesmo com outras 2 $\times$ 2 matriz de identidade.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Portanto, consegui chegar a C em duas operações elementares, como o problema especificado. Mas então, quando tento verificar minha equação original:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Não é igual a C. Não entendo o que estou fazendo de errado? Tentei fazer o cálculo várias vezes e ainda chego à mesma coisa. Onde está meu erro aqui? É o próprio processo?

Answer 1

Tente calcular $A^{-1}B$ e você verá que a matriz é diferente de $E_1E_2$ , então, por causa do inverso de uma matriz quadrada é única (e assim $A^{-1}B$ também) seu método está errado.

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Para resolver o problema, eu usaria uma propriedade da matriz de transposição, a saber:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Para usar isso, encontre as matrizes elementares do sistema: $$KA^T = B^T$$ com $K=E_2E_1$, e então transpor tudo, obtendo:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$